Stel: maximale winst (Q) = pQ - wQ^1/a of marginale opbrengst = marginale kost (Q*). Hoe herschrijf je dit tot p = (w/a)Q*^(1-a)/a? Bij voorbaat dank!

Onderstaand antwoord gaat ervan uit dat je weet wat afgeleiden zijn, en wat differentiëren is. (zou je dat niet weten, dan kan je dit antwoord beter negeren, want dan zou de enige manier waarop je dit kunt doen , met uit het hoofd geleerde formules zijn).

Je wilt je maximale winst bepalen met behulp van de winstfunctie W als functie van Q, die we als Winst(Q) zullen schrijven. De Q waarvoor Winst(Q) dat maximum bereikt, zullen we Q* noemen.

Een van de eisen waar zo'n maximum aan moet voldoen, is dat de afgeleide van Winst in dat punt Q* 0 moet zijn, ofwel Winst ' (Q*) =0 . (het apostrofje betekent 'afgeleide van' )

We moeten dus beginnen met het bepalen van de afgeleide naar Q voor

Winst(Q) = pQ - w Q^(1/a)

Volgens de standaardregels voor differentieren is dit

Winst ' ( Q) = p - w * (1/a) Q^( (1/a) -1)

( Dit omdat de afgeleide van q ^m voor elk willkeurig getal m ongelijk aan 0 gelijk is aan mq^(m-1) )

vereenvoudigen: de exponent (1/a) -1 in één breuk zetten:

(1/a) -1 = 1/a - a/a= (1-a) /a

en w * (1/a) schrijven als w/a levert op :

Winst ' ( Q) = p - w /a Q^( (1-a)/a)

Deze afgeleide moet dus 0 zijn, dit levert je op

p - w /a Q^( (1-a)/a) =0 , ofwel

p = w /a Q^( (1-a)/a) .

Als je daarom de waarden voor p, w, en a weet, kan je hieruit in principe Q berekenen waarvoor dit geldt, en dat is dan dus je Q*.

Ofwel

p = w /a Q*^( (1-a)/a)

Je moet eigenlijk nog wel controleren dat dit echt een maximum is (door te controleren dat de afgeleide

Winst '(Q) > 0 voor Q < Q * , en
Winst '(Q) < 0 voor Q > Q * . (dit zou je bv. met een tekenschema kunnen doen).