Wie is er verantwoordelijk voor de afvoer van hemelwater bij een huurwoning?

De eigenaar van de grond is primair verantwoordelijk voor de afvoer van regenwater in de tuin. In jouw situatie is dat waarschijnlijk de woningcorporatie of de gemeente. Je kunt dat bij het kadaster navragen. Het is overigens vreemd dat de corporatie dit probleem niet oppakt. Een (sociale) verhuurder hoort bij dit soort kwesties op te komen voor de belangen van de huurder, ongeacht de vraag wie voor de kosten opdraait.
Ik raad je aan om contact op te nemen met het Juridisch Loket over de vraag welke vervolgstappen je het beste kunt ondernemen. Dat kan zijn een gang naar de Huurcommissie, naar de Geschillencommissie van de betrokken corporatie, of naar de gemeente.
Gelet op de wettelijke zorgplicht van de verhuurder, is het primair de taak van de woningcorporatie om dit probleem op te lossen. Hoe de verhuurder dit doet en wie uiteindelijk de rekening betaalt, is niet jouw probleem. Op grond van de Woningwet heb je recht op ongestoord woongenot en daarvan is in de huidige situatie geen sprake. In overleg met het Juridisch Loket zou je kunnen bekijken of het mogelijk is een claim in te dienen bij de verhuurder voor vervanging van de planten of huurverlaging aan te vragen bij de Huurcommissie.

De woningbouw is niet verplicht tot aanleg drainage.
Verder zie ik veel tegels die het hemelwater opvangen, dat is ook een oorzaak.
Je kunt zelf een slang aanleggen vanuit tuin naar afvoerput

Dit is geen gebrek van bouwtechnische aard.

Hiervoor bent u zelf verantwoordelijk, het is normaal onderhoud van de tuin, Blijkbaar is er door de jaren heen de ondergrond ingeklonken en is die laag niet meer of slecht doordringbaar voor water.