0,99999… = 1?

ja alleen jammer dat het me zoveel duimpjes omlaag oplevert. tjonge...

zou ik er nog 1 bij doen dan. kijk is aan!

dank je wel hoor.
Jammer dat dat er geen 4 zijn.
;-)

is dat dan toevallig ook het eindresultaat van die toetsen ? 4 !

nu zijn ju thumbs up 4 ;-p

oh mijn hemeltje... dank je acane... en met deze reactie erbij staat de teller reacties weer op 2 maal vier. Zie je nu dat ik gelijk had ;-)

Ik bedoel met de puntjes inderdaad oneindig veel negens.

Dan is je berekening gewoon een heel omslachtige methode om aan te geven dat de limiet van x die nadert tot 1 gelijk is aan 1.

dus 0,9999.. = 1?

Als je daar oneindig veel negens achter zet wel ja.

nee hoor, het blijft een afronding. een o,999... met oneindig veel negen blijft dat en wordt niet opeens 1.

Nee, met _oneindig_ veel negens wordt het exact gelijk aan 1, zonder afronding.

De meeste mensen hier hebben volgens mij niet begrepen wat oneindig betekent, en ook niet wat een limiet is.

Nee, niet vijf negens of zes negens, maar steeds oneindig veel negens. Da's nou juist de crux van de vraag.

En het gaat dus nergens mis. Zijn conclusie is dan ook gewoon juist

waarom 9,99999.../9?

Als je accepteert dat 9x 9,0000000... is, moet je natuurlijk wel 9.0000 delen door 9, en niet 9,9999999 delen door 9...

Nope, niet n decimalen die alle de waarde negen hebben. Oneindig veel decimalen die alle de waarde negen hebben.

En als je in plaats van 'een n aantal' nou eens 'een aftelbaar oneindig aantal' zet? n kan namelijk elk natuurlijk getal zijn, en de natuurlijke getallen zijn een aftelbaar oneindige verzameling...

De vraagsteller had het niet over n decimalen. Hij had het over een oneindig aantal decimalen.

Niet exact. 0,999999... nadert tot 1. Het nadert oneindig dicht tot 1, maar is niet gelijk aan 1 en zal dat ook nooit worden. Wel is het zo dat als een getal oneindig dicht nadert tot 1, je voor rekendoelen ook het getal 1 kunt gebruiken. Dat levert een afwijking op, maar omdat die afwijking oneindig klein is, is er geen situatie denkbaar waarin dat problemen zou opleveren.

met oneindige veel negens zit er een oneindig klein verschil tussen. In de wiskunde een heel belangrijk verschil, in het dagelijks leven verwaarloosbaar.

"Je nadert oneindig dicht tot 1" (SuziQ).
"een oneindig klein verschil" (Edo). Komt beide op hetzelfde neer. Het gaat om dat oneindig kleine verschil. Hoe groot is dat verschil? Hoe groot is oneindig klein? Is het kleiner dan 0,1? Ja.
Is het kleiner dan 0,01? Ja.
Is het kleiner dan 0,001? Ja.
Enzovoort.
Is het kleiner dan 0? Nee. Dus het verschil is kleiner dan . Het verschil is niet kleiner dan nul. Het verschil is niet negatief. Enig mogelijk antwoord: het verschil is exact gelijk aan nul. Dus niet wat Edo zegt "in de wiskunde een heel belangrijk verschil". Integendeel, in de wiskunde is het nul. In de wiskunde is 0,9999... exact, en wel echt helemaal exact, zonder enig voorbehoud, gelijk aan 1.

Mensen snappen het begrip oneindigheid niet echt hier. 0,9999 met oneindig veel negens is uiteraard gewoon 1. Valt ook niet mee, je iets voor stellen wat bestaat in de wiskunde maar niet in ons voorstellingsvermogen...

Je kunt inderdaad niet zo rekenen met oneindig, zoals je net hebt aangetoond. De vraagsteller doet dat ook helemaal niet, hij rekent gewoon met 1. ;)

Dit voorbeeld wederom werkt alleen maar in geval van een eindige reeks negens Niet bij een oneindige reeks negens.
10 keer oneindig is nog steeds oneindig. Oneindig gedeeld door 2 is nog steeds oneindig. 1/oneindig is 0, 10 keer 1/oneindig is nog steeds net zo goed 0. Je vergelijking kan daarom niet op gaan.
Puur wiskundig gezien treed er echt geen informatie verlies op wanneer je een breuk als decimaal getal gaat opschrijven. Daar zijn namelijk wiskundige notaties voor die zorgen dat die informatie behouden blijft en dus ook te gebruiken blijft in verdere berekeningen. Voor vermenigvuldigingen met 10 schuif je domweg de komma 1 plaats op. Bij een eindige reeks zou dat betekenen dat je laatste negen ook op schuift maar er is echt helemaal geen laatste negen omdat je rij letterlijk oneindig is. Zie mijn eerder gegeven voorbeeld. Dat je op je rekenmachine 8,9999999 als uitkomst krijgt komt omdat je rekenmachine inderdaad informatie verliest. Wanneer je echter die informatie van de oneindige reeks mee neemt (computer algebra programmas kunnen dit, denk aan Derive, Maple, Mathematica, Matlab, Mathcad hebben hier geen last van). Wiskunde in tegenstelling tot Natuurkunde of eigenlijk elke andere willekeurige discipline doet niet aan benaderingen. Hoewel de vakgebieden zeker veel raakvlakken hebben is dit een heel fundamenteel verschil. Wat in de wiskunde een oneindige reeks is of oneindig groot of oneindig klein is exact en letterlijk dat: oneindig
In pure wiskunde gaat informatie niet verloren. Het wordt altijd mee genomen in de rest van de berekening. Onze rekenstelsels/wiskunde is er niet voor ontworpen de wereld begrijpelijk te maken. Dat is een taak van de natuurkunde. Natuurkunde rekent daarom met afrondingen en significanties. Wiskunde doet dit niet omdat het alle getallen even significant beschouwd.

type fout: *Wanneer je echter die informatie van de oneindige reeks mee neemt * moet nog achter: krijg je een andere uitkomst.

Akkoord, er zullen inderdaad vast notaties voor een oneindige reeks decimalen zijn. Het enige symbool dat ik voor oneindigheid ken is: ∞. Dus die gebruik ik gemakshalve dan maar even. Maar ik kan mij niet voorstellen dat de algebra software die jij noemt dan dus met de uitkomst (Als X = .99999∞)
10X - X = 9 komt. Dat moet 8.99999∞ o.i.d. zijn.

idd; die software komt met de correcte uitkomst. Je notatie hier klopt overigens niet. ∞ is het symbool voor oneindig maar niet voor een oneindige reeks. Daarvoor wordt doorgaans een aantal puntjes achter de reeks gezet om aan te geven dat deze oneindig door loopt. Goede computer algebra software kan wel degelijk omgaan met dit soort oneindige reeksen en zal je ook melden dat 0,[oneindige reeks negens] wel zeker gelijk is an 1. In je voorbeeld, zoals zo vaak hier al aangegeven, krijg je alleen 8,9999 en niet 9,00000 als uitkomst bij een eindige reeks negens. Niet bij een oneindige. In essentie wat je in je uitleg beweert is dat (1/3)*3 geen 1 is...... 1/3 is immers 0,[oneindige reeks drieën] en vermenigvuldigd met 3 levert dat dan 0,[oneindige reeks negens] op.....

Oke, ik wist niet dat ... de algemeen gebruikte notatie hiervoor is. Daarom gebruikte ik gemakshalve maar even ∞ (wetende dat dat niet de juiste notatie is idd) Maar, dan heb je mijn uitleg denk ik verkeerd begrepen. Wat ik probeerde te zeggen is simpelweg net iets minder dan 1: 0.99999... != 1 Dus als ik X (0.99999...) vermenigvuldig met 10 krijg ik 10 min (10 stukjes die net iets minder zijn dan 1) Als ik daar vervolgens X (0,99999...) aftrek krijg ik 9 min (9 stukjes die net iets minder zijn dan 1) Lijkt mij staan als een huis. Niet? De vergelijking met 1/3 gaat in mijn ogen niet op, omdat 1/3 simpelweg 1 derde deel van 1 is. Als je die vermenigvuldigt met 3 krijg je weer 1. 0.99999... is NIET 1/9e deel van 9. Het is iets minder dan 1/9e deel van 9.

ja, 1/3 is idd 1 derde deel van 1... dat zegt de som al maar hoe schrijf je dit in decimale cijfers? De enige methode is echt 0,3333333... in een oneindige reeks drieën en idd: als je dat vermenigvuldig met 3 houd je 1 over....
De hele clou zit hem in de oneindigheid van de reeks cijfers. Daarom mag je 0,999999... vermenigvuldigen met 10 en daarna het oorspronkelijke getal er af trekken om 'maal 9' te krijgen. Hoewel je komma 1 plaats opschuift blijven er even veel (∞) negens achter de komma staan als er voor de vermenigvuldiging stonden. Immers:
∞-1 = ∞
∞+1 = ∞
∞/2 = ∞
∞*2 = ∞
∞+99*10^999999999999999999 = ∞
enz.... Ik snap dat je probeert te zeggen dat het minder is dan 1. Maar je trekt letterlijk een oneindig klein getal van 1 af. En laat oneindig klein nu net 0 zijn. 1/∞ of x/∞ zo je wil geven een oneindig klein getal en de uitkomst van beide voorbeelden is per definitie 0. Je hebt helemaal gelijk wanneer je een eindige reeks hebt echt waar maar houd goed in gedachten dat een reeks van een quadriljoen negens nog steeds oneindig veel kleiner is dan ∞.

"ja, 1/3 is idd 1 derde deel van 1… dat zegt de som al maar hoe schrijf je dit in decimale cijfers?" Exact! Dat was precies het punt dat ik probeerde te maken met dat onze notatie tekort schiet (of althans, de notatie met alleen decimale getallen; zonder wiskundige symbolen) Ik ben er verder niet zo in thuis, maar ik kan mij indenken dat de "significantie" waar je over vertelde, waarschijnlijk aanduidt hoe bijvoorbeeld 0.33333... geïnterpreteerd dient te worden. Dus: is het 1/3e van 1? of
is het 1/3e deel van 0.99999...? Hmmm, ik heb net even kort op wikipedia significantie van getallen gescanned, en daar lijkt het inderdaad op te duiden. Als het waar is wat je zegt, dat significantie in wiskunde niet wordt gebruikt, zou ik dat erg vreemd vinden. Maar dat terzijde.

Hmmm, ik heb nog iets beter gelezen over significante cijfers, en ik ben er nu niet meer zo zeker van dat het daadwerkelijk wel is wat ik bedoelde. Ik moet het overdag nog maar 's wat aandachtiger lezen. ;-)

In de wiskunde doet men niet aan interpreteren. Iets is waar of onwaar. Niet een beetje waar. Significantie ontstaat door onzekerheden in metingen. Aan 1/3 meet je helemaal niks. 1/3 in decimale cijfers is 0,333333333... dat geloof je wel... hoe komt het dan dat het zo moeilijk is om aan te nemen dat wanneer je zowel 1/3 als 0,333333... vermenigvuldigd met 3 dat het eindresultaat ook aan elkaar gelijk moet zijn?