Zijn er wiskundetrucjes om snel grote machten te berekenen d.m.v. hoofdrekenen?

Ja, machten kun je anders schrijven waardoor het soms sneller of overzichtelijker uit het hoofd is uit te rekenen.

3^8 is hetzelfde als 3^2^4 of 3^4^2.
3^2 = 9
3^8 is dus hetzelfde als 9^4, wat weer hetzelfde is als 9^2^2, dus 81^2.
3x3x3x3x3x3x3x3 = 81x81 = 6561

Bij 6^9 is het lastiger, omdat 9 niet deelbaar is door 2. Voor hoofdrekenen (zonder papier dus!) is het altijd het meest eenvoudig en overzichtelijk om uit te komen op een kwadraat.

6^9 is hetzelfde als 6^3^3 en dus 216^3, dus 216x216x216.
216x216 is met enige concentratie wel uit het hoofd te doen: 46656.
46656x216 is wel uit het hoofd te berekenen, maar daar is dan wel een kladpapiertje voor nodig om bij te houden welke getallen je al hebt berekend. Voor veel mensen zal dat voor 216x216 al nodig zijn, maar een geoefende rekenaar kan dat zonder.

6^9 is dus wel uit te rekenen zonder rekenmachine, maar niet zonder kladpapier.
6^3^3 is sneller uit te rekenen dan 6x6x6x6x6x6x6x6x6.