Waarom kan wortel 2 nooit een eindige decimale breuk zijn?

Een cijfer achter een komma zorgt in het kwadraat altijd voor een extra decimaal:
0,9×0,9=0,81
0,5×0,5=0,25
0,1×0,1=0,01
Met geen enkele breuk kom je dus na kwadrateren uit op een geheel getal.

Geen sluitend bewijs, maar misschien heb ik je gedachten in de goede richting kunnen sturen.

Stel dat √2 een eindige decimale breuk zou zijn. Dan zouden we het ook kunnen schrijven als een gewone, niet vereenvoudigbare breuk a/b.
a en b zijn dan niet beide even, want dan zou de breuk vereenvoudigbaar zijn. Omdat a/b = √2, geldt a²/b² = 2, en dus a² = 2b². Hieruit kunnen we concluderen dat a² even is. Een kwadraat dat even is, is ook deelbaar door 4. Omdat a² = 2b² is ook 2b² deelbaar door 4. Dus b² is deelbaar door 2. Dus b² is even. Dus b is even.
Hé, nu hebben we geconcludeerd dat zowel a als b even zijn. Terwijl we waren begonnen met een niet vereenvoudigbare breuk a/b, waarin a en b dus niet beide even zijn. De conclusie moet zijn dat zo'n breuk niet bestaat. En dus ook geen eindige of oneindig repeterende decimale breuk. We zeggen dat √2 een irrationaal getal is. Dat wil zeggen: niet weer te geven door een "ratio" een verhouding tussen twee gehele getallen a en b.