Weet iemand een oneindige, niet-repeterende, decimale breuk?
Ik weet dat bijvoorbeeld pi zo'n getal is, maar wat is er nog meer een?
3.6K
3.6K keer bekeken
Geef jouw antwoord
Het beste antwoord
Pi is geen breuk, kan namelijk niet als quotient van 2 gehele getallen geschreven worden, hoe groot dan ook. Wat jij bedoelt is waarschijnlijk de decimale ontwikkeling van pi, die inderdaad nooit repeterend wordt.
Waar jij het over hebt, zijn vermoedelijk irrationale getallen: cijfers die NIET als breuk van 2 (gehele) getallen geschreven kunnen worden, hoe groot je die 2 getallen ook neemt. Voorbeelden hiervan zijn er genoeg.
Bijvoorbeeld wortel(2) (voor bewijs zie beneden) ( en oneindig veel meer wortels meer), e (een fundamenteel wiskundig getal, ongeveer 2.71828... veel gebruikt bij exponentiele functies en logaritmen), cos(0.1)... om zomaar 3 vb. te noemen.
In feite zijn er zelfs veel méér van zulke getallen dan 'mooie' getallen als 113/355. Dit kan je op bepaalde (wiskundige) manieren laten zien, die hier te ver zouden voeren.
Iedere echte breuk is repeterend. Dat kan je heel simpel zien door een staartdeling te doen. Stel, je doet a: b en je bent door de cijfers van a heen (je kunt alleen nog nullen bijtrekken).
Dan kan je als rest krijgen in iedere stap van de staartdeling 0 ... b-1. Dus als je niet uitkomt kom je in hoogstens b-1 stappen bij een rest die je eerder gehad hebt en vanaf dat moment herhaalt de berekening zichzelf.
Bv. is bij 1/7 het repeterende deel 142857, 6 cijfers. Bij 1/13 kan het repeterende deel nooit langer zijn dan 12 cijfers. Korter kan wel. Bijvoorbeeld 1/6 = 0.1666666, waar dus alleen het cijfer 6 repeteert.
-------
Bewijs dat wortel(2) niet als breuk geschreven kan worden van 2 gehele getallen a en b:
Stel wel. Neem aan dat a en b de kleinste getallen zijn, zo dat a/b=wortel(2). Zo niet, vereenvoudig dan eerst a en b zodat dit wel geldt.
nu geldt:
a/b=wortel(2)
(a/b)^2 = a^2/b^2= 2
a^2 =2 b^2 .
2 b^2 is even. Maar dat betekent dat a^2 = even. Maar als a^2 = even, dan moet a ook even zijn. (Ga maar na).
Maar als a= even, dan is er dus een geheel getal c zo dat a=2c.
Dus krijgen we dan
a^2= (2 c) ^2 = 4c^2 .
We hebben nu dus: a^2 = 4 c^2 = 2 b^2.
Maar dan geldt ook weer dat b^2 = 2 c^2 , en net zoals hierboven volgt: b^2 even -> b even.
We hebben nu dus gevonden: a èn b even. Maar we hadden in het begin aangenomen dat a en b DE KLEINSTE getallen zijn waarvoor a/b = wortel(2). We vinden dus een tegenspraak.
De enige mogelijke conclusie is dat er geen gehele getallen a en b bestaan, zodat a/b = wortel(2).
Waar jij het over hebt, zijn vermoedelijk irrationale getallen: cijfers die NIET als breuk van 2 (gehele) getallen geschreven kunnen worden, hoe groot je die 2 getallen ook neemt. Voorbeelden hiervan zijn er genoeg.
Bijvoorbeeld wortel(2) (voor bewijs zie beneden) ( en oneindig veel meer wortels meer), e (een fundamenteel wiskundig getal, ongeveer 2.71828... veel gebruikt bij exponentiele functies en logaritmen), cos(0.1)... om zomaar 3 vb. te noemen.
In feite zijn er zelfs veel méér van zulke getallen dan 'mooie' getallen als 113/355. Dit kan je op bepaalde (wiskundige) manieren laten zien, die hier te ver zouden voeren.
Iedere echte breuk is repeterend. Dat kan je heel simpel zien door een staartdeling te doen. Stel, je doet a: b en je bent door de cijfers van a heen (je kunt alleen nog nullen bijtrekken).
Dan kan je als rest krijgen in iedere stap van de staartdeling 0 ... b-1. Dus als je niet uitkomt kom je in hoogstens b-1 stappen bij een rest die je eerder gehad hebt en vanaf dat moment herhaalt de berekening zichzelf.
Bv. is bij 1/7 het repeterende deel 142857, 6 cijfers. Bij 1/13 kan het repeterende deel nooit langer zijn dan 12 cijfers. Korter kan wel. Bijvoorbeeld 1/6 = 0.1666666, waar dus alleen het cijfer 6 repeteert.
-------
Bewijs dat wortel(2) niet als breuk geschreven kan worden van 2 gehele getallen a en b:
Stel wel. Neem aan dat a en b de kleinste getallen zijn, zo dat a/b=wortel(2). Zo niet, vereenvoudig dan eerst a en b zodat dit wel geldt.
nu geldt:
a/b=wortel(2)
(a/b)^2 = a^2/b^2= 2
a^2 =2 b^2 .
2 b^2 is even. Maar dat betekent dat a^2 = even. Maar als a^2 = even, dan moet a ook even zijn. (Ga maar na).
Maar als a= even, dan is er dus een geheel getal c zo dat a=2c.
Dus krijgen we dan
a^2= (2 c) ^2 = 4c^2 .
We hebben nu dus: a^2 = 4 c^2 = 2 b^2.
Maar dan geldt ook weer dat b^2 = 2 c^2 , en net zoals hierboven volgt: b^2 even -> b even.
We hebben nu dus gevonden: a èn b even. Maar we hadden in het begin aangenomen dat a en b DE KLEINSTE getallen zijn waarvoor a/b = wortel(2). We vinden dus een tegenspraak.
De enige mogelijke conclusie is dat er geen gehele getallen a en b bestaan, zodat a/b = wortel(2).
8 jaar geleden
Andere antwoorden (1)
Decimale breuken zijn altijd ofwel eindig, ofwel repeterend. Oneindige, niet-repeterende decimale breuken bestaan niet.
Hetzelfde geldt overigens voor niet-decimale breuken, dus voor breuken die worden uitgeschreven in een niet-decimaal talstelsel.
Pi, e, wortel2 en trawanten zijn *geen* breuken. Niet decimaal en niet anderstallig.
Hetzelfde geldt overigens voor niet-decimale breuken, dus voor breuken die worden uitgeschreven in een niet-decimaal talstelsel.
Pi, e, wortel2 en trawanten zijn *geen* breuken. Niet decimaal en niet anderstallig.
8 jaar geleden
Deel jouw antwoord