Hoe los je deze wiskundige vergelijking algebraïsch op?

Het hangt er een beetje vanaf hoe de som precies bedoeld is.

Ik kan hem opvatten als:

(I) : 7 * log(3x) + 3* log(5x) =15,

of als

(II): 7_log(3x) + 3_log(5x) = 15.

Waarmee ik dan met 7_log(3x) de logaritme van 3x op grondtal 7 bedoel, enz.

Gelukkig maakt het niet heel veel uit, want in beide gevallen is de som op dezelfde manier op te lossen. Waarom?

Omdat er een algemene rekenregel voor logaritmen is die zegt:

(Rekenregel 1) : a_log(b)= x_log(b) / x_log(a) ,

waarbij het nieuwe grondtal x willekeurig gekozen mag worden. We kunnen dus bijvoorbeeld ook x=10 nemen, omdat dat een standaard grontal voor logaritmen is.

Dus is de vergelijking

7_log(3x) + 3_log(5x)= 15

dan evengoed te schrijven als

log(3x)/log(7) + log(5x)/log(3) = 15 .

Dus zijn beide interpretaties van de opgave, (I) en (II), te vatten onder de algemenere vorm

a log (3x) + b log (5x) = 15

(in het eerste geval geldt a=7, b = 3, in het tweede geval geldt a= 1/log(7), b= 1/log(3).)

Als we dus deze algemenere vergelijking op kunnen lossen zijn we meteen voor beide gevallen klaar.

a log (3x) + b log (5x) = 15

Een andere rekenregel voor logaritmen zegt :

(Rekenregel 2 ) : log(xy) = log(x)+log(y)

Dus mogen we schrijven

a (log (3) + log(x)) + b (log (5) +log(x)) = 15

ofwel
(a+b) log(x) = 15- a log(3) - b log(5)

ofwel

log(x) = (15- a log(3) - b log(5) )/ (a+b)

ofwel

x= 10^ ( (15- a log(3) - b log(5) ) / (a+b))

Vullen we nu de ‘juiste’ waarden voor a en b in (afhankelijk dus van hoe de opgave bedoeld was), dan vinden we in het eerste geval : ( a=7, b = 3)

x= 10^ ( (15- 7 log(3) - 3 log(5) )/ 10)

(ofwel x=(ongeveer) 9,4324

en voor het tweede geval (a= 1/log(7), b= 1/log(3))

x= 10^ (15- log(3)/log(7) - log(5)/log(3) ) / (1/log(7) + 1/log(3) ) )

(ofwel x= (ongeveer) 9023,46) .

Deze waarden voor x in de oorspronkelijke vergelijkingen invullen is een secuur klusje, maar levert het juiste resultaat op.

Het oplossen van deze vergelijkingen is met de kennis van de genoemde twee rekenregels voor logaritmen eigenlijk niet eens zo moeilijk, behalve dan dat het vervelende getallen zijn en het daarom een kwestie van nauwkeurig werken is.