Hoe kun je bewijzen dat 5^-1 de uitkomst 1/5 geeft?

Het (flauwe) antwoord is dat je dat niet bewijst, het is namelijk hoe we negatieve exponenten definiëren. Zet even een stap terug en kijk naar a^n waarbij n een natuurlijk (en dus positief) getal is. Dan betekent a^n het product van n kopies van a met zichzelf: a^n = a*a*a*...*a en dat n keer. Dat is de DEFINITIE, maar enkel voor strikt positieve waarden van n.

Met deze definitie van a^n voor positieve n kan je rekenregels (eigenschappen) bewijzen zoals:
1) a^n*a^m = a^(n+m)
2) a^n/a^m = a^(n-m)
3) (a^n)^m = a^(n*m)

Die tweede regel werkt alleen als n > m, anders is n-m negatief of 0 en dan weten we niet wat die macht betekent, want we hebben dat net alleen maar afgesproken voor positieve exponenten.

Tot nu kunnen we dus alleen met a^n werken als n een strikt positief natuurlijk getal is. We willen dit graag uitbreiden naar alle gehele getallen. We moeten dat nog afspreken, dus definiëren! Voor we naar de negatieve exponenten kijken, eerst even naar 0.

Stap 1: wat dan met a^0? Wel, als we willen dat die eigenschappen van daarnet niet verloren gaan, dan kunnen we a^0 maar op één manier definiëren. Neem namelijk die tweede eigenschap van daarnet en kies daarin n = m. Dan zegt die formule:

a^n/a^n = a^(n-n)

Maar hierin is het linkerlid duidelijk 1, want een getal gedeeld door zichzelf, en het rechterlid duidelijk a^0 want n-n = 0. Als we die eigenschap niet willen verliezen in het geval van exponent 0 zit er dus maar één logische keuze op, we stellen a^0 = 1.

Stap 2: wat met negatieve exponenten? Neem opnieuw die tweede eigenschap van daarnet maar kies hierin n = 0; dan staat er:

a^0/a^m = a^(0-m)

Maar a^0 = 1, hebben we net gekozen, dus dan staat er:

1/a^m = a^(-m)

Als we de regels van daarnet niet willen verliezen, dan moeten negatieve exponenten zich dus als volgt gedragen: a^(-m) moet gelijk zijn aan 1/a^m.

Toegepast op jouw voorbeeld: 5^(-1) moet dus gelijk zijn aan 1/5^1 = 1/5.

In een notendop: het is geen bewijs, maar een gevolg van hoe wij afspreken wat we met de notatie 5^(-1) bedoelen. Die afspraak maken we om de rekenregels van exponenten die we in het positieve geval al hadden, te behouden.

Een andere manier is:
5^-1
= 5^(1-2)
= 5^1 / 5^2
= 5/25
= 1/5.