Hoeveel is 1+2+3+4+5+6..... ?
Dus 1+2+3+4+...=?
De som van de oneindige natuurlijke bijelkaar opgetelde getallen?
13.4K
13.4K keer bekeken
Geef jouw antwoord
Antwoorden (4)
Dit noemen ze een rekenkundige reeks of rij. Is n het laatste getal dan is de som
1/2 * n * (n + 1) . Je ziet dat als n oneindig wordt dat de som dat ook wordt, maar wel sneller; dat zie je vaak genoteerd als O(n^2). O staat voor orde.
1/2 * n * (n + 1) . Je ziet dat als n oneindig wordt dat de som dat ook wordt, maar wel sneller; dat zie je vaak genoteerd als O(n^2). O staat voor orde.
Verwijderde gebruiker
9 jaar geleden
De studie van oneindige sommen vormen een groot onderdeel van de wiskunde; als je er interesse in hebt moet je maar eens zoeken naar het begrip "reeks".
In een notendop kan je stellen dat men in de eerste plaats probeert om een zinvolle betekenis te geven aan zo'n som met oneindig veel termen. Dat is niet zo evident, want de 'gewone optelling' gaat tussen twee getallen en bij uitbreiding, door dat herhaaldelijk te doen, tussen een eindig aantal getallen. Wanneer je dan opeens de stap maakt naar een oneindig aantal termen, wordt het wiskundig allemaal wat subtieler.
Grofweg kunnen er zich dan twee verschillende gevallen voordoen. De interessantste is die waarbij het mogelijk is om toch een eindige waarde toe te kennen aan de som van oneindig veel termen. Dit lijkt voor sommigen op het eerste gezicht vreemd, dus even een kort voorbeeld:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
Hierin is elke term de helft van de vorige. Je kan het je visueel voorstellen als een pizza waarvan je eerst de helft eet, vervolgens een kwart (= de helft van wat op dat moment overblijft), vervolgens 1/8 ... steeds de helft van wat overblijft. Het is duidelijk dat je, ook al ga je oneindig lang door, nooit meer dan één pizza zal eten. Je zal echter bijna niets overhouden als je maar lang genoeg blijft eten. We zeggen dat de som gelijk is aan 1.
Als het mogelijk is om aan zo'n som met oneindig veel termen ("reeks") een eindige waarde toe te kennen, zeggen we dat die reeks convergent is. Alle andere reeksen zijn divergent. Binnen die divergente reeksen doen er zich wel twee verschillende mogelijkheden voor.
Bekijk de som: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... Het lijkt misschien intuïtief om te zeggen dat de som 0 is, groepeer bijvoorbeeld (1 - 1) + (1 - 1) + ..., maar je kan even goed anders groeperen en dan lijkt de som 1, namelijk: 1 - (1-1) - (1-1) - ... Het blijft schommelen en de som gaat niet naar één vaste waarde, we spreken hier van divergentie zonder dat de sommen zelf oneindig groot of klein worden.
Bij de andere mogelijkheid, en daartoe behoort ook jouw voorbeeld, wordt de som willekeurig groot (of klein, in negatieve zin) als je maar genoeg termen erbij neemt. Dat doet zich bijvoorbeeld al voor met 1+1+1+... maar ook met 1+1/2+1/3+1/4+... en dus zeker bij 1+2+3+4+... De som 'ontploft' en men zegt soms ook wel dat de som 'oneindig' is.
In een notendop kan je stellen dat men in de eerste plaats probeert om een zinvolle betekenis te geven aan zo'n som met oneindig veel termen. Dat is niet zo evident, want de 'gewone optelling' gaat tussen twee getallen en bij uitbreiding, door dat herhaaldelijk te doen, tussen een eindig aantal getallen. Wanneer je dan opeens de stap maakt naar een oneindig aantal termen, wordt het wiskundig allemaal wat subtieler.
Grofweg kunnen er zich dan twee verschillende gevallen voordoen. De interessantste is die waarbij het mogelijk is om toch een eindige waarde toe te kennen aan de som van oneindig veel termen. Dit lijkt voor sommigen op het eerste gezicht vreemd, dus even een kort voorbeeld:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
Hierin is elke term de helft van de vorige. Je kan het je visueel voorstellen als een pizza waarvan je eerst de helft eet, vervolgens een kwart (= de helft van wat op dat moment overblijft), vervolgens 1/8 ... steeds de helft van wat overblijft. Het is duidelijk dat je, ook al ga je oneindig lang door, nooit meer dan één pizza zal eten. Je zal echter bijna niets overhouden als je maar lang genoeg blijft eten. We zeggen dat de som gelijk is aan 1.
Als het mogelijk is om aan zo'n som met oneindig veel termen ("reeks") een eindige waarde toe te kennen, zeggen we dat die reeks convergent is. Alle andere reeksen zijn divergent. Binnen die divergente reeksen doen er zich wel twee verschillende mogelijkheden voor.
Bekijk de som: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... Het lijkt misschien intuïtief om te zeggen dat de som 0 is, groepeer bijvoorbeeld (1 - 1) + (1 - 1) + ..., maar je kan even goed anders groeperen en dan lijkt de som 1, namelijk: 1 - (1-1) - (1-1) - ... Het blijft schommelen en de som gaat niet naar één vaste waarde, we spreken hier van divergentie zonder dat de sommen zelf oneindig groot of klein worden.
Bij de andere mogelijkheid, en daartoe behoort ook jouw voorbeeld, wordt de som willekeurig groot (of klein, in negatieve zin) als je maar genoeg termen erbij neemt. Dat doet zich bijvoorbeeld al voor met 1+1+1+... maar ook met 1+1/2+1/3+1/4+... en dus zeker bij 1+2+3+4+... De som 'ontploft' en men zegt soms ook wel dat de som 'oneindig' is.
Verwijderde gebruiker
9 jaar geleden
Een stel bekende YouTubers, als groep beter bekend als Numberphile, schijnt bewijs te hebben dat deze som -1/12 als antwoord heeft!
Video voor toelichting ==> https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
Video voor toelichting ==> https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
Verwijderde gebruiker
9 jaar geleden
Deel jouw antwoord