Wanneer (en evt. door wie) is de nul als rekenkundig begrip uitgevonden?

Leg dan even die min uit....

Dit soort bewijzen rammelt eigenlijk altijd. Dat komt doordat het om oneindig veel getallen gaat. Zo kan ik bewijzen dat er meer even getallen bestaan dan oneven getallen. Dat bewijs gaat op een vergelijkbare manier als jouw bewijs. (Voor het gemak kijken we niet naar negatieve getallen.) Neem een willekeurig oneven getal. Aan elk oneven getal kunnen we een even getal koppelen door het oneven getal met 2 te vermenigvuldigen. Dit betekent dat er in ieder geval net zoveel even getallen zijn als oneven getallen. Daarnaast zijn er even getallen die *niet* op deze manier uit een oneven getal kunnen worden verkregen. Voorbeelden zijn alle veelvouden van 4. We kunnen nu twee dingen constateren:
a)  Aan elk oneven getal is een even getal gekoppeld.
b)  Daarnaast zijn er nog extra even getallen. Conclusie: er zijn meer even getallen dan oneven getallen. Euh...

Maar ik doe geen uitspraak of x positief of negatief is. Ik doe alleen de uitspraak dat x altijd een tegenhanger met een omgekeerd teken heeft door met -1 te vermenigvuldigen. Daarmee laat ik geen verzamelingen van negatieve of positieve getallen buiten beschouwing. Graag een sterker argument waarom het niet klopt ;-)

Ik zeg niet dat het niet klopt. Ik zeg slechts dat deze manier van bewijzen niet automatisch geldig is.

Dat is jammer. Ik had graag een weerlegging gezien. Nu breng je mijn bewijs "in diskrediet" door een fout bewijs van iets anders te leveren en te suggereren dat mijn bewijs in dezelfde categorie valt.

Het bewijs valt toch in dezelfde categorie? Het is de categorie "tot oneindig tellen" en daarbij koppelingen maken tussen twee verzamelingen die allebei oneindig groot zijn. Het is dezelfde categorie waarmee je kunt bewijzen dat er evenveel rationele als gehele getallen bestaan. Zelfs 1+2+3+4+5+6+7+... enzovoort, oneindig lang alle positieve gehele getallen optellen - wat denk je dat de uitkomst is? Iedereen zegt: "oneindig". Maar je kunt wiskundig laten zien dat de uitkomst  --1/12 is... https://upload.wikimedia.org/math/f/9/8/f98fa2eae8ba3eeea13695e76d746d5d.png

Het bewijs hoort m.i. niet tot dezelfde categorie. Ik bewijs niks met verzamelingen. Ik bewijs dat je als er voor ieder positief getal een negatieve tegenhanger is en voor ieder negatief getal een positieve. Niks met oneindig aftelbare trucjes of dat soort zaken waar jij volgens mij op doelt. De logische conclusie is dan dat er evenveel positieve als negatieve getallen zijn. Een volgende logische conclusie is dan dat als je die optelt dat je dan op nul uitkomt, of misschien op -1/12. Mogelijk op 42 als antwoord op alles. Maar omdat ik dat niet weet waag ik mij daar niet aan. De aard van dit bewijs is anders dan die bewijzen van jou.

Het lijkt mij niet zinnig deze discussie voort te zetten.

@Cryofiel, heb je ook de link voor het bewijs van 1+2+3+4+...=-1/12?

https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

@cryo eens, inhoudelijk heeft het pas zin als je mijn bewijs weerlegt, waar ik met veel belangstelling kennis van zou nemen. Maar verdere niet ter zake doende uitspraken en beweringen hebben geen zin.

@cryo, @mullog, De standaard uitleg zou zijn dat niet de bewijsmethode rammelt, maar de uitspraak die je ermee probeert te bewijzen. We praten hier over oneindige verzamelingen waarbij een begrip als 'evenveel' geen exacte betekenis heeft. En geen wiskundige zou het begrip 'evenveel' serieus in zo'n context gebruiken, tenzij hij heel informeel bezig is, en aan de intuïtie probeert te appelleren. Dus doen wiskundigen the next best thing: ze bewijzen dat twee zulke verzameling "gelijkmachtig" zijn. Dat is: het is mogelijk om een afbeelding te vinden die ieder element één op één op de andere verzameling kan afbeelden -- en omgekeerd. Is het mogelijk zo'n afbeelding te vinden (en die is makkelijk te vinden, neem iets simpels als: aan ieder oneven getal x, voeg het even getal x-1 toe (en omgekeerd)), dan zijn de beide verzamelingen gelijkmachtig, volgens de definitie. Klaar. Praat je over eindige verzamelingen, dan komt de notie neer op "evenveel elementen". Bij oneindige verzamelingen is dat anders, hier schiet de intuïtie domweg te kort. Bij oneindige verzamelingen betekent het dus niet dat er "evenveel" elementen zijn, maar enkel dat je alle elementen van beide verzamelingen één op één kunt afbeelden. En dat kan. Het doet er dan niet meer toe dat er ook andere afbeeldingen zijn waarbij de ene verzameling 'meer' elementen lijkt te bevatten dan de andere.
Het probleem is niet de bewijsmethode, maar onze intuïtie, die niet kan accepteren dat er oneindig veel "schuif-" en "rek-" ruimte is in oneindige verzamelingen. Zo kan je bv. ook bewijzen met de afbeelding x->2x dat de verzameling E van even getallen gelijkmachtig is aan de verzameling natuurlijke getallen N. En ook dit is in de wiskunde een geaccepteerd resultaat; dit terwijl je toch makkelijk kunt laten zien dat de N echt groter is dan E: alle oneven getallen bijvoorbeeld....

@kierkegaard bedankt voor je reactie. Ik probeer te bewijzen dat er evenveel negatieve als positieve getallen zijn. Dat doe ik echter niet door de verzamelingen gelijkmachtig proberen te maken maar door aan te tonen dat van ieder positief getal een negatief getal geconstrueerd kan worden en andersom. Van daar uit trek ik dan de conclusie dat er evenveel negatieve als positieve getallen zijn. Misschien is mijn wiskundige notatie niet helemaal je dat maar het stoort mij enorm dat iemand zonder de redenering zelf te weerleggen de redenering als flauwekul af doet.

Hoi @Mullog, Je redenering is géén flauwekul -en dat zegt Cryo ook niet voor zover ik het kan lezen- alleen maar dat je extreem met dit soort bewijzen moet oppassen. En daar heeft xij (=hij/zij) gelijk in. Xijn bewijs is namelijk even geldig als het jouwe. Xijn oplossing is stellen dat het bewijs "ergens rammelt", vermoedelijk omdat het resultaat niet overeen komt met de intuïtie. Mijn oplossing is stellen dat die intuïtie hier domweg niet meer voldoet en dat het begrip "evenveel" niet zinvol in deze context gebruikt kan worden. Juist omdàt het niets meer betekent kunnen jullie allebei zowel gelijk als ongelijk hebben. En ja, we hebben hier twee gelijkmachtige verzamelingen. De bewering dat er evenveel even als oneven getallen zijn (jij), klopt. De bewering dat er twee keer zoveel even als oneven getallen zijn (Cryo), klopt ook. Hieronder zal ik op nog andere manier laten zien (informeel) dat er 1000 keer zoveel oneven getallen als even getallen zijn. En dat klopt ook. Bekijk de volgende rij: Steeds 1000 oneven getallen en dan een even getal. Dus: 1,3, .... 1997, 1999, 2, 2001, 2003... .3997, 3999, 4, 4001, 4003.. 5997,5999, 6, 6001, 6003 .... en zo verder tot in het oneindige. Wat is de verhouding van even en oneven getallen in deze oneindige rij? En toch heb ik volstrekt niets anders gedaan dan de 'standaardrij' 1,2,3,4,5.... ietsje om te husselen. Zelfs als je het puur numeriek bekijkt is er niets tegen in te brengen. Immers, oneindig gedeeld door 1000 is nog steeds oneindig.

En nog een technisch puntje: "Dat doe ik echter niet door de verzamelingen gelijkmachtig proberen te maken maar door aan te tonen dat van ieder positief getal een negatief getal geconstrueerd kan worden en andersom. " Maar dat is dus (op wat technische details na) juist de DEFINITIE van gelijkmachtigheid van twee verzamelingen! Tenminste, zoals ik die ken. Je laat elementsgewijs zien dat je ze één op één uniek kunt afbeelden, en dat dit voor ieder element van beide verzamelingen geldt. Het enige dat je niet doet is de verzamelingen _expliciet_ benoemen. Maar wel degelijk impliciet: "van ieder positief getal". <--- wat is dat anders dan ''de verzameling van positieve getallen ' ? Mocht ik je nou toch nog verkeerd begrepen hebben, dan zou ik graag horen waar ik fout zit.

@kierkegaard47, bedankt voor je uitleg. Jouw uitleg kiest een geheel andere vorm, een vorm waar ik niet op was gekomen. Ik vind jouw manier van uitleggen enorm verhelderend. @mullog, je denkt dat ik jouw antwoord verkeerd vind. Dat klopt niet. Ik ga dan ook niet in op jouw uitkomst, maar op jouw redenatie. Jouw uitkomst is correct, volgens jou (toch?). Je komt op jouw uitkomst door een redenatie te volgen. Als je vindt dat de uitkomst correct is, dan moet de redenatie ook correct zijn. Wat ik doe is *precies dezelfde* redenatie gebruiken die jij ook gebruikt, maar dan om aan te tonen dat er meer even getallen bestaan dan oneven getallen. Met als doel je aan het denken te zetten. Vind jij dat de redenatie klopt? Dan moet je ook vinden dat er meer even getallen zijn dan oneven getallen. Of dat er juist meer oneven getallen zijn dan even getallen, want ook dat kun je met (alweer) precies dezelfde redenatie laten zien. kierkegaard47 geeft dat uitstekend weer met zijn "gelijkmachtig" (prachtige term!). Het komt erop neer dat oneindig plus 1 exact, maar dan ook werkelijk exact, gelijk is aan oneindig. Zo is ook oneindig plus n exact gelijk aan oneindig, voor willekeurige n. Het voorgaande geldt zelfs voor n is oneindig. Dus oneindig plus oneindig is exact hetzelfde als oneindig. Dit betekent dan weer dan n maal oneindig exact evenveel is als oneindig. Maar hier mag n zelf niet oneindig zijn. oneindig maal oneindig is "hogermachtig" dan oneindig. Ik bedenk me zojuist een mooie illustratie. Die schrijf ik in de volgende reactie.

Illustratie: Neem een vel papier en teken daarop een vierkant. Het vierkant staat "rechtop", dus de vier zijden zijn ofwel horizontaal ofwel vertikaal. Laten we nu eens kijken naar het aantal punten op elk van de zijden van het vierkant. De redenatie van mullog laat zien dat het aantal punten op de onderzijde van het vierkant gelijk is aan het aantal punten op de bovenzijde van het vierkant. Mijn redenatie - of eigenlijk ook de redenatie van mullog, want beide redenaties zijn gelijk - laat zien dat het aantal punten op de linkerzijde en de rechterzijde van het vierkant samen, gelijk is aan het aantal punten op de onderzijde van het vierkant. Dezelfde redenatie is ook bruikbaar om te laten zien dat het aantal punten op alle vier de zijden gezamenlijk, gelijk is aan het aantal punten op de onderzijde van het vierkant. -- Nog even terug naar de wiskunde. Behalve de gehele getallen zijn er ook de rationele getallen. Dat zijn getallen als 1/4, 5/7, 13/19 enzovoort. Tussen elke twee opeenvolgende gehele getallen liggen meerdere rationele getallen. Tussen 1 en 2 liggen bijvoorbeeld 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5 en dan nog veel meer rationele getallen. Wiskundig kan ik, opnieuw gebruik makend van dezelfde redenatie, laten zien dat er *evenveel* rationele getallen bestaan als gehele getallen.

Het bewijs is wel duidelijk. Wat mij stoorde js dat het gediskwalificeerd werd, altans in mijn ogen. Errammelt namelijk niets aan dit soort bewijsvoerin, en dat is wel je openjngszin.

Nee, er is ook helemaal niets mis met je bewijs. En je bewijst ook nog eens dat er evenveel negatieve als positieve getallen zijn. Alleen zou je dus even makkelijk kunnen bewijzen dat er 3 keer zoveel negatieve als positieve getallen zijn. Of 5 keer minder. Net wat je wilt. Wat je er daarom ècht mee bewijst, is dat de beide verzamelingen "van dezelfde orde van oneindigheid" zijn, en dat is dus een veel rekbaarder begrip. (Net als bv Z (gehele getallen) en Q (rationale getallen). Maar bijvoorbeeld R (reëele getallen) is, als overaftelbare verzameling, echt een "orde" groter. ).

"Maar hier mag n zelf niet oneindig zijn. oneindig maal oneindig is "hogermachtig" dan oneindig." Zelfs dàt is nog toegestaan. Immers, anders zou je ook niet kunnen bewijzen dat Q gelijkmachtig is met Z (aangezien de Q in feite wordt samengesteld uit tupels van twéé elementen die onafhankelijk van elkaar uit de gehele Z mogen komen).

Kun je dan een bewijs tonen dat er twee keer zoveel negatieve als positieve getallen zijn.

Natuurlijk. Als je het niet erg vind, doe ik het wat informeel, omdat het formeel veel meer ruimte (en notatie) kost. We beginnen met een "omgehusselde" rij van alle negatieve, en positieve getallen, als volgt: -1,-2,1,-3,-4,2,-5,-6,3, ....
(ofwel, om de beurt 2 negatieve getallen, gevolgd door een positief getal). Noem deze rij R. R bevat dus precies alle positieve en negatieve getallen (alleen in een een wat ongebruikelijke volgorde). Noem de deelrij die uit de eerste n termen bestaat R_n Dus bv. R_2= -1, -2
R_5= -1,-2,1,-3,-4 Het aantal POSITIEVE getallen in R_n noemen we P_n, en het aantal NEGATIEVE getallen M_n. Dus hier bijvoorbeeld P_5=1, M_5 =4 . Duidelijk is dat in iedere deelrij R_n ,geldt dat M_n "ongeveer" 2n/3 is, en P_N " ongeveer" n/3 . In feite kan je daar precieze inklemmingen voor maken, die neerkomen op: n/3 - 1 <= P_n <= n/3
en
2n/3 <= M_n <= 2n/3 +1

Beschouw nu de uitdrukking M_n/P_n (ofwel de ratio negatieve/ positieve getallen in R_n). Je kan een benedenafschatting voor M_n/P_n maken door de ONDERgrens van M_n in de teller, en de BOVENgrens van P_n in de noemer te zetten. Voor de bovenafschatting doe je natuurlijk precies het omgekeerde. Zo krijg je (2n/3 ) / (n/3) <= M_n/P_n <= (2n/3 +1 ) / (n/3 -1) en na wat vereenvoudigen 2 <= M_n/P_n <= 2 + 3 / (n/3 -1) Laat nu n naar oneindig gaan. In de limietovergang wordt R_n gelijk aan R, en wordt bovenstaande uitdrukking
2 <= M_n/P_N <= 2
ofwel
M/n / P_n =2 in R. Ofwel de ratio van negatieve/positieve gevallen gaat in de limiet naar 2. Maar R was precies de verzameling van alle positieve en negatieve getallen. Conclusie: er zijn twee keer zoveel negatieve als positieve getallen.

(even voor de duidelijkheid, ik kan dus iedere verhouding die ik wil "aantonen" door met een "geschikte" beginrij te beginnen.) (ik schrijf "aantonen" tussen aanhalingstekens, niet omdat het bewijs ongeldig is, maar omdat het voor iedere ratio die je wilt kan, en dus blijkbaar de ratio zèlf betekenisloos is, en dus wat je aantoont een oneindige "rekbaarheid" van de ratio tussen positieve en negatieve getallen is). Het idee is dat ik laat zien dat in iedere deelrij de verhouding niet buiten bepaalde grenzen kan komen, en dat die grenzen in de limietovergang naar de volledige rij zelfs aan elkaar gelijk worden. De "verrekening" die je zou verwachten 'aan het eind', omdat ik hierboven twee keer zo hard door de negatieve als de positieve getallen ga, treedt nooit op, juist _omdat_ de beide verzamelingen oneindig zijn.

Wat een mooie weer, @kierkegaard47! Feitelijk laat je zien dat twee maal oneindig gelijk is aan oneindig. Of dat oneindig gedeeld door twee gelijk is aan oneindig, net hoe je het bekijkt. Waarbij je voor 'twee' elk willekeurig getal mag invullen, natuurlijk.

Dank je @cryo, Overigens koos ik toch maar even voor dit ietwat ingewikkelder' bewijs, omdat ik met een bewijs wilde komen waarin de verhouding ook echt heel duidelijk tussen onder- en bovengrens ingeklemd kon worden (in plaats van een bewijs in de vorm 'f(x)-> -2x' en hè, nu zijn alle oneven negatieve getallen nog 'over', dus zijn er "twee keer zoveel" negatieve getallen!)

Mooi bewijs. En als ik de tekens omkeer dan kan ik precies het omgekeerde bewijzen! Mijn conclusie is dan dat er op een hoger niveau iets mis is met de bewijsvoering. Zoiets als Zeno's paradox. Mij ontbreekt de de kennis om daar iets zinnigs over te zeggen.

Over Zeno' s paradox kun je wel iets zinnigs zeggen. Elke keer dat Achilles aankomt op de plaats die bij de vorige meting door de Schildpad was bereikt, is de door hem afgelegde afstand kleiner. ook de tijdsintervallen worden kleiner. Zo sterk, dat zij beide naderen naar nul. Een deelsom nul gedeeld door nul is niet geldig, want door nul kun je niet delen; je krijgt dan een zinloos antwoord en dat nu is het zinnige wat erover te zeggen valt. Overigens is eenvoudig rekenkundig aan te tonen dat Achilles de schildpad inhaalt en op welke plaats dit gebeurt: zet de snelheden en plaatsen in een grafiek, beide zijn lineaire verbanden en de achterstand van Achilles is het verschil van de oorsprongen op de X-as.

Mooi zoals er op GV dan weer om de kern van de opmerking heen gepraat wordt maar wel over het voorbeeld ;-) De kern van mijn opmerking is dat er aan de bewijsvoering iets niet deugt. Uit het ongerijmde kun je redeneren dat het niet mogelijk zou moeten zijn dat je kunt bewijzen dat er meer positieve dan negatieve getallen zijn en dat je met praktisch hetzelfde bewijs het omgekeerde kunt bewijzen. Aangezien niet beiden waar kan zijn kun je misschien (zie mijn laatste zin) concluderen dat er evenveel positieve als negatieve getallen zijn. Ik denk dat de crux hem zit in het begin van het bewijs waarbij je, volstrekt legitiem waarschijnlijk, met een gehusselde rij begint. Alleen is je gehusselde rij een eindige rij en ik vraag mij af of het wel legitiem is die te vertalen of projecteren naar een oneindige rij. Maar zoals eerder gezegd, mijn kennis schiet daar ernstig tekort.

De rij van positieve getallen is in den beginne ook een eindige rij die je vervolgens vertaalt of projecteert naar een oneindige rij. Kern van het "probleem" is dat twee maal oneindig EXACT HETZELFDE is als oneindig, en dat is weer EXACT HETZELFDE als de helft van oneindig.

Sinds wanneer zit er een einde aan de positieve getallen?

Er zit net zo'n einde aan de rij met positieve getallen als er een einde zit aan de gehusselde rij die jij in je vorige reactie noemde.

Hoi Mullog, Ik zal niet op alle beweringen uitgebreid ingaan (omdat ik ook nog een rustige avond wil hebben), maar even heel kort: "En als ik de tekens omkeer dan kan ik precies het omgekeerde bewijzen!" En dat is dus precies wat ik (en Cryo) nu al de hele thread betogen. Het MAAKT NIET UIT welke verhouding je kiest, je kunt het ALTIJD bewijzen alleen maar door het bewijs iets aan te passen. Had ik de verhouding 1/3 willen aantonen, dan was ik begonnen met de rij -1,-2,-3,1,-4,-5,-6,2,-7,-8,-9, enz En had ik het 'evenveel' willen aantonen, dan was ik begonnen met de rij 1,-1,2,-2,3,-3... enz. En het bewijs dat je gebruikt maakt ook niet uit. Cryo heeft al laten zien hoe je jouw redenering waarmee deze hele thread begon (die van "bij x hoort -x en omgekeerd"), zou kunnen aanpassen om te laten zien dat er "meer" negatieve dan positieve getallen zijn. Met wat nadere precisering kan je hem ook gebruiken om aan te tonen dat er _precies_ 2 keer zoveel zijn. Of 2 keer zo weinig, net wat je wilt. Ik kan het uitschrijven als je wilt maar het lijkt me niet nodig. Met andere woorden: we hebben nu al 2 tamelijk verschillende redeneertrants waarbij dit optreedt . (Hoewel deze bewijzen niet zo verschillend zijn als ze misschien lijken). Hebben nu beide redeneertrants dezelfde fout, of is er iets anders aan de hand? Mijn bewering: wèlk bewijs je ook zou bedenken, dit zal je _altijd_ krijgen. De bewijsmethode maakt niet uit, het resultaat is steeds hetzelfde. En de kern van het verhaal is iedere keer weer wat Cryo al zei "2 * oneindig= PRECIES oneindig".

"Aangezien niet beiden waar kan zijn " Hmmm... dat kan dus wel degelijk. Hieronder een voorbeeld van twee verzamelingen A en B waarvoor ALLE DRIE de volgende uitspraken hieronder WAAR zijn, ook al lijken ze elkaar tegen te spreken. 1) A) bevat precies 5 keer zoveel elementen als B) 2) B bevat precies 5 keer zoveel elementen als A) 3) A en B bevatten precies evenveel elementen. De verzamelingen zijn: A Alle negatieve getallen die reëelwaardige wortels hebben B) Alle getallen y waarvoor geldt: 0 * y = 1 Immers, A en B hebben 0 elementen, en 0=0/5=0*5. Je vindt dit misschien een beetje een flauw voorbeeld -en dat is het natuurlijk ook- maar mijn punt is, dat in bepaalde gevallen vergelijking met behulp van ratio's _domweg niet opgaat_, en dat ALLES even waar of onwaar is als je het in die termen stelt. Dat is in het geval van nul elementen zo, zoals in dit voorbeeld. En in het geval van oneindig veel elementen ook --zoals in de verzamelingen waar wij het tot nog toe over hadden. Het verschil is alleen dat het in het geval van nul elementen hopelijk iets beter visualiseerbaar is. (én natuurlijk dat je in het geval van nul elementen nog de _optellingsoperator_ ter vergelijking hebt ("A heeft 3 elementen meer dan B"))- wat in het geval van oneindige verzamelingen ook niet meer lukt. Het is dan ook geen toeval dat in zekere zin, nul en oneindig elkaars "inverses" zijn als je over ratio's spreekt. Beide gevallen zijn "pathologisch", in die zin.

@kierkegaard, ik had bijna als reactie gegeven "Ik zal me dan toch maar eens in Cantor gaan verdiepen en bedankt voor jullie tijd". Helaas zadel je mij nu weer op met een vraag ;-) A is de verzameling van alle negatieve getallen die reëelwaardige wortels hebben. Dat betekent dat A een lege verzameling is. Een lege verzameling heeft geen elementen. Dan is de uitspraak dat A 5 keer zoveel elementen heeft dan willekeurig welke andere verzameling volgens mij niet correct. @cryofiel ik drukte mij denk ik niet goed uit. Wat ik bedoelde is dat als je gehusselde rij is samensteld met -1,-2,-3,1,-4 dan kun je dat principe eindeloos herhalen maar je gebruikt 4 negatieve getallen tegen over één positieve. Je kunt dat eindeloos doorzetten maar je creëert een zeker kunstmatig negatief overwicht t.o.v. het positieve. Ik hoop dat duidelijk is wat ik bedoelde. @Beiden. Ik zoek ook wat verder en volgens mij is mijn bewijs een bijectie. Als dat niet zo is dan wil ik dat graag weten. >>> uit de wiki https://nl.wikipedia.org/wiki/Bijectie Om een exacte koppeling tussen twee verzamelingen X en Y te verkrijgen (waar Y overigens niet hoeft te verschillen van X), moet aan vier eigenschappen worden voldaan: Elk element uit X moet aan ten minste één element uit Y zijn gekoppeld,
Geen element uit X kan aan meer dan één element uit Y zijn gekoppeld,
Elk element uit Y moet aan ten minste één element uit X zijn gekoppeld,
Geen element uit Y kan aan meer dan één element uit X' zijn gekoppeld.
<<<<<< einde citaat wiki En als laatste. Ik besef wel dat je van alles kunt bewijzen wat los en vast zit, zeker rekening houdend met begrippen als oneindig (het is denk ik niet voor niets dat men oneindig waar mogelijk wil vermijden). Maar ik blijf een unheimisch gevoel houden bij bewijzen zoals kierkegaard geeft waarbij je bewijs afhankelijk is van een veranderbaar uitgangspunt aan het begin van het bewijs.

"Dan is de uitspraak dat A 5 keer zoveel elementen heeft dan willekeurig welke andere verzameling volgens mij niet correct." Daarin heb je gelijk, die uitspraak is niet correct. Maar het is dan ook niet wat ik zei. Ik zei dat A 5 keer zoveel elementen (én 5 keer zo weinig!) had als verzameling B, _die óók leeg is_. Het punt dat ik wilde maken is dat uitspraken die in eerste instantie tegenstrijdig lijken, dat niet per se hoeven te zijn. Omdat er gevallen zijn waarin zulke uitspraken bij nader onderzoek _betekenisloos_ blijken. Gevallen waarin de vergelijkingsoperator (in dit geval "A bevat x keer zoveel elementen als B" ) in zekere zin "ontaard" is. Verzamelingen met 0 elementen vormen zo'n ontaard geval, immers 0*x=0, voor welke x dan ook (met als enig mogelijke uitzondering "x=oneindig"). Dus ik kan wel zeggen: de ene verzameling met 0 elementen bevat er 5 keer zoveel als de andere verzameling, met óók 0 elementen, en strikt genomen is mijn uitspraak nog waar ook. Alleen _betekent_ het niet zoveel, en waarschijnlijk is het inderdaad meest voor de hand liggend om te zeggen dat ze er "even veel" hebben. Maar daarmee zijn de andere uitspraken (5 keer zoveel), niet _fout_. Verzamelingen met oneindig veel elementen vormen een ander ontaard geval. Immers, oneindig * x = oneindig, voor welke x dan ook (met als enige mogelijke uitzondering x=0). Ook in dat geval is de uitspraak "A bevat evenveel elementen als B" zeker juist, maar niet noodzakelijk tegenstrijdig met een uitspraak als "A bevat twee keer zoveel elementen als B" of "A bevat er twee keer zo weinig". Net als in het geval van 0 elementen is de uitspraak "x keer zoveel" in feite betekenisloos. Je zou hooguit kunnen argumenteren dat de ene zienswijze ('evenveel') meer voor de hand ligt als de andere '5 keer zoveel', maar dit is en blijft een intuïtieve notie. In zekere zin zijn de verzameling met 0 elementen en verzamelingen met oneindig veel elementen in dit opzicht elkaars spiegelbeeld. (Alleen kun je in het geval van verzamelingen met 0 elementen, de uitspraak 'A bevat 3 elementen meer dan B' nog wel zinvol interpreteren waar dat in het geval van aftelbaar oneindige verzamelingen ook niet meer lukt.)

Je hebt absoluut gelijk als je beweert dat je een bijectie gemaakt hebt in je oorspronkelijke antwoord. Ik meende zelfs dat ik de term zelf al in de mond had genomen, maar blijkbaar is dit niet zo. De notie 'bijectie' staat nl. centraal in de definitie van het al eerder genoemde begrip "gelijkmachtigheid": A en B zijn _gedefinieerd als gelijkmachtig_ als je een _bijectie_ kunt construeren die de hele A op de hele B afbeeldt- en omgekeerd (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkmachtigheid) Waarmee je bewezen hebt dat de verzameling van negatieve en de verzameling van positieve getallen dezelfde "kardinaliteit" hebben, en dus gelijkmachtig zijn. Kardinaliteit is dan weer een generalisatie van "aantal elementen in de verzameling". Bij elke _eindige_ verzameling vallen beide begrippen precies samen. Dat betekent dus dat in het geval van 2 _eindige_ verzamelingen A en B je op deze manier inderdaad kunt bewijzen dat ze evenveel elementen hebben. De uitspraken : A heeft dezelfde cardinaliteit als B, komt dan op precies hetzelfde neer als "A heeft evenveel elementen als B". In het geval van 2 _oneindige_ verzamelingen blijkt alleen dat het begrip "cardinaliteit" toch niet precies hetzelfde is. Je kunt namelijk wel stellen dat de verzameling van negatieve en de verzameling van positieve getallen dezelfde kardinaliteit heeft., maar dit sluit niet uit dat er evenveel positieve als negatieve getallen zijn, maar óók 2 keer zoveel, en 3 keer zo weinig -- omdat, zoals ik hierboven geprobeerd heb uit te leggen, die wijze van vergelijken zinloos is. Wat is het verschil ? Om te laten zien dat twee verzamelingen gelijk in kardinaliteit zijn, volstaat het om een bijectie te leggen van de gehele A naar de gehele B. Dat heb je gedaan. Het doet er dan voor de notie van kardinaliteit niet meer toe, dat je óók een bijectie kunt leggen van bv. de gehele A naar _een deel van B_, zoals Cryo deed door met x-> 2x te werken. Of omgekeerd, een bijectie van de hele B naar een deel van A. Immers IS er een bijectie van de hele A naar de hele B, en dat is alles wat de definitie vereist. Maar als je over "evenveel" spreekt en daarbij de intuïtieve notie van het begrip aanhoudt ("dus kunnen er niet 2 keer zoveel zijn"), geeft dat dus wèl paradoxen (zie de afgelopen 35 posts ;) ). Tenzij je dus "evenveel" in de "rekbaarder" zin bedoelt, zoals in het begrip 'kardinaliteit'. In die zin is het mogelijk -uiteindelijk- toch weer een kwestie van terminologie ...

"Maar ik blijf een unheimisch gevoel houden bij bewijzen zoals kierkegaard geeft waarbij je bewijs afhankelijk is van een veranderbaar uitgangspunt " Dat snap ik. Dat gevoel heb ik zelf ook. Dit zijn van die bewijzen die tegen de intuïtie ingaan. Er zijn overigens wel meer van dit soort bewijzen in de wiskunde, die aantonen dat je in bepaalde gevallen naar bijna ieder gewenst resultaat toe kunt praten. Wat deze bewijzen dan ook daadwerkelijk aantonen, is dat er op fundamenteler niveau iets tekort schiet aan ons intuïtieve begrip als het om oneindigheden gaat. Zo is er bv. een stelling dat je bij bepaalde oneindige optelreeksen de uitkomst kunt veranderen in alles wat je wilt, _alleen maar door volgorde van optelling te herschikken_. (Dit heet de "Riemann series rearrangement theorem", zie bijvoorbeeld
http://mathworld.wolfram.com/RiemannSeriesTheorem.html ). Gaat ook hartstikke tegen mijn intuïtie in. (In feite moest ik aan deze stelling denken toen ik mijn bewijs maakte.) Of neem. de bekende Banach-Tarksi paradox, die stelt dat het in theorie mogelijk is om een massieve bol zó op te splitsen dat je de delen daarna weer kunt samenvoegen tot twéé massieve bollen van dezelfde afmetingen als de oorspronkelijke bol. In feite zegt deze stelling dus dat ons intuïtieve concept van "behoud van volume" bij voldoend ingewikkelde deelverzamelingen niet meer opgaat, en je er dus ook "alles uit kunt krijgen wat je wilt". https://nl.wikipedia.org/wiki/Banach-tarskiparadox

Zoals ik al eerder zei: tel alle positieve gehele getallen bij elkaar op. Het resultaat is negatief en een breuk, namelijk -1/12. Zie https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF .

En dat allemaal vanwege het woord "rammelt" in cryos eerste zin:-) Heren bedankt voor jullie tijd en aandacht.

I do agree dat hier wel lang genoeg over gesproken is :) Mijn excuses als ik soms wat woordenrijk ben geweest, en als ik misschien niet altijd even duidelijk, maar als wiskundige blijf ik het een _fascinerend_ onderwerp vinden ...