Uit hoeveel nullen bestaat het getal 10 tot de macht 10 tot de macht 56?

Ergens zit je wel goed denk ik, want er staat inderdaad óok 1 met daarachter 10^56 nullen. Maar hoeveel nullen zijn het nou dan hoeveel nullen zijn dan 10^56 nullen? Zijn dat er geen 560 dan?

Nee, dat zijn 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 nullen. Kortom, het getal is nog heel erg veel groter dan een 1 met 560 nullen, zó verschrikkelijk groot, dat je het getal niet eens voluit zou kunnen opschrijven. 10^56, is namelijk een verkorte schrijfwijze voor "begin met 1, en vermenigvuldig dat herhaaldelijk met 10, waarbij het aantal keren dat je vermenigvuldigt met 10, 56 is." Zo is
10^2 = 1 * 10 *10 =100 (een 1 met 2 nullen)
10^3 = 1 * 10 *10* 10 =1000 (een 1 met 3 nullen)
10^4 = 1 * 10 *10* 10 * 10 =10000 (een 1 met 4 nullen)
...
10^56 = (een 1 met 56 nullen). Kortom, 10^56 zelf is al een verschrikkelijk groot getal. Maar hier wordt gesproken, niet over 10^56 zelf, maar OVER EEN GETAL MET 10^56 NULLEN ERACHTER!. Kortom, dat getal is nog heel, heel, heel erg veel groter dan een 1 met 56 nullen, of zelfs dan een 1 met 560 nullen. Het gaat om een 1 met 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 nullen.

Ik wordt een beetje duizelig van al die nullen.:-) Dus om je antwoord wat inzichtelijker te maken een ander voorbeeld:
Hoeveel nullen heeft het getal 10 tot de macht 2 tot de macht 2?

10^2^2 gaat van links naar rechts. Het is dus (10^2)^2. Dat is 100^2, en dat is 10.000. 10^(2^2), wat hier niet wordt bedoeld, is overigens 10^4, en dat is in dit geval eveneens 10.000.

2 tot de macht 2 is 4
10 tot de macht (2 tot de macht 2 ) is dus 10 tot de macht 4=10000. Dus dat getal heeft 4 nullen. Overigens is dat in dit bijzondere geval hetzelfde als (10 tot de macht 2 ) tot de macht 2 Want 10 tot de macht 2 is 100
en 100 tot de macht 2 is 10.000 maar dat is hier toevallig zo, en niet altijd. Neem bijvoorbeeld maar 10 tot de macht 2 tot de macht 3. Reken je dit uit als
10 tot de macht (2 tot de macht 3)
dan krijg je 2^3 = 2*2 *2 = 4* 2 =8
Dus twee tot de macht 3 is 8
vervolgens:
10 tot de macht 8 is 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100.000.000, ofwel een 1 met 8 nullen, ofwel honderd miljoen. Reken je dit echter uit als (10 tot de macht 2) tot de macht 3, dan krijg je
10 tot de macht 2 = 10* 10 = 100
vervolgens:
100 tot de macht 3 is 100* 100 * 100 = 10.000 * 100 = 1.000.000, ofwel een 1 met 6 nullen, één miljoen.

@Cryo: het probleem is hier typografisch. Ik vermoed dat er in de oorspronkelijke tekst een machtstoren stond (dus zoiets als dit: https://c2.staticflickr.com/2/1184/1027825237_604d62d0ca.jpg ) en doorgaans is de conventie om die rechtsassociatief te interpreteren, ook als er geen haakjes staan, zoals dit ook vermeld wordt in het wikipedia artikel hierover, https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation , onder het hoofdje 'identities and properties'. De ellende is alleen dat je het niet zo op goeievraag kunt schrijven, dus dan wordt het al snel : "10^10^100", wat dus een dubbelzinnige uitdrukking is. Want strikt genomen heb je zonder context gelijk: dat zou je als het er _letterlijk_ zo staat van links naar rechts moeten lezen. Maar als het van een machtstoren komt had er vervolgens dus eigenlijk met haakjes gewerkt moeten worden- die in de machtstoren zelf niet nodig zijn. Hetzelfde euvel heb je als je het probeert uit te spreken. Vandaar dat ik in mijn antwoord in eerste instantie van beide antwoorden uit ga. Uit extra informatie die vraagsteller daarna in een reactie geeft ("een 1 met 10^56" nullen, blijkt vervolgens dat wel degelijk de machtstoren-interpretatie bedoeld is.

Ik heb het getal eens proberen voor te stellen. Dus ik dacht hoeveel nullen passen op een A4 dat zijn er ongeveer 5000. Dus, laten we er een boek van maken, met 1000 blz. Dat zijn dus nog maar 5 miljoen nullen voor een heel dik boek met alleen maar nullen.
Ik dacht misschien volstaat een boekenkast dan...maar nee, te klein...een hele bibliotheek dan met alleen maar nullen.....nou misschien.... Je hebt dus bijna een heel dorp nodig volgestopt met boeken met alleen maar nullen.
Ik dacht, is dat niet een wat te groot getal, zou de schrijver zich niet vergist hebben en toch een 1 met slechts 560 nullen bedoelen; te schrijven op een half A4tje

Het gaat hier om de uitkomst van theoretische berekeningen, waarbij allerlei aannamen gedaan moeten worden. En daar kunnen zulke extreme getallen uitrollen. Het betekent niet dat het de werkelijkheid is, het is puur de uitkomst van een rekenmodel, waarschijnlijk daarnaast nog gebaseerd op bepaalde aannamen. Zo is er bijvoorbeeld ook de schatting dat als het universum oneindig groot zou zijn, je een volmaakt identieke kopie van ons waarneembare universum zou mogen verwachten op een afstand van ongeveer 10^(10^115) lichtjaar, een zelfs nog groter getal. Is dit iets waaraan we een reëele interpretatie kunnen verbinden? Ik denk dat de vraag niet echt zinvol is, omdat het puur de uitkomst van een gedachtenexperiment is. En er zijn voorbeelden van andere natuur- en wiskundige berekeningen waar zelfs nòg grotere getallen uitrollen, dan de hier genoemde ...

Voor de liefhebbers: de auteur van het verhaal is Sean Carroll van het Carolina Institute of Technology in Pasadena

@Erotisi
Dit soort getallen zijn heel normaal in de fysische thermodynamica, die kijkt o.a. naar de hoeveelheid interacties die deeltjes met elkaar aan kunnen gaan (en daar dan weer gevolgen aan willen verbinden). Dit gaat inderdaad over belachelijk grote getallen. Het eerste college ging als volgt (de eerste minuten dan).
Prof: "noem eens een groot getal"
leerling: 1.000.000
Prof: Ja, nu echt een groot getal"
leerling, doe maar 10^99 (we waren niet van gister, zeg maar)
Prof: en een nog groter getal
leerling 10^99999999
Prof: dat is een klein getal ivm wat we hier gaan doen. Hier gaan we het over getallen hebben als 10^(10^99).
leerling: das wel groot ja
(deze conversatie heeft echt plaats gevonden). Bij de statische kans dat er weer een Big Bang zou plaats vinden, zou je moeten bepalen hoe groot de kans is dat alle deeltjes (en dus de entropie) in een zodanige configuratie komt dat er een nieuwe oerknal mogelijk is. Dat is een waanzinnig groot getal. Veel mensen, vooral astrofysici en geinteresseerden daarin (die hier ook veel komen, waaronder ik) kunnen zich grote en extreem grote getallen goede voorstellen of visualiseren (miljarden lichtjaren is een kwestie van perspectief). Maar ik persoonlijk, en overigens ook veel anderen die dit kunnen, kan me geen voorstelling maken van een getal als 10^(10^56). Dat gaat mijn inziens alle voorstellingsvermogens te boven (behalve voor die ene gesjeesde statisticus die dit wel kan).