Wat zijn de oplossingen van x²+bx = c?

De uitdrukking waarmee je start om de ABC-formule af te leiden (ax²+bx+c=0) verschilt in twee opzichten van de vergelijking waarmee hier begonnen wordt (x²+bx=c).

Namelijk ten eerste, dat a=1, en ten tweede dat hier eigenlijk gewerkt wordt met (x²+bx - c =0 ), dus het teken van de c is omgeklapt.

Vullen wij daarom in a=1 en vervangen we c door -c in de abc-formule, dan zouden we (na verdere omschrijvingen) jouw uitdrukkingen moeten krijgen.

ABC-formule: (ik schrijf '+/-' voor het gemak, waarmee ik bedoel: "plus of min")

x= (-b +/- √ [b² - 4ac] ) / 2a

Invullen a=1 :
x= (-b +/- √ [b² - 4c] ) / 2

Vervangen c door -c :

x= (-b +/- √ [b² + 4c] ) / 2

Vereenvoudigen:
x= -b/2 +/- √ [b² + 4c] / 2

x= +/- √ [b² + 4c]/ 2 - b/2

x= +/- √ [b²/4 + c] - b/2 ( ‘gedeeld door 2 "in de wortel trekken", wordt onder het wortelteken "gedeeld door 4")

x= +/- √ [(b/2)² + c] - b/2 (trekken we het ‘gedeeld door 4’ nu weer in in de kwadraatterm onder de wortel, dan wordt het daar weer "gedeeld door 2")

Ik kom dus _bijna_, maar niet precies op hetzelfde uit als jij, namelijk

x= √ [(b/2)² + c] - b/2 OF x= - √ [(b/2)² + c] - b/2

En het lijkt me ook waarschijnlijk dat het dit moet zijn, omdat ook in de standaard ABC-formule de +/- voor de wortelvorm staat, niet voor de term "b/2"

Toegevoegd na 2 uur:
Aanvulling: Intussen thuis, even gegoogled, en zie dat de Babyloniers inderdaad met de door jou genoemde twee oplossingen aankwamen, maar wel voor 2 verschillende vergelijkingen:

"To solve a quadratic equation the Babylonians essentially used the standard formula. They considered two types of quadratic equation, namely

x2 + bx = c and x2 - bx = c

where here b, c were positive but not necessarily integers. The form that their solutions took was, respectively

x = √[(b/2)2 + c] - (b/2) and x = √[(b/2)2 + c] + (b/2)"


Overigens zou je die laatste ook kunnen afleiden door met de abc-formule te beginnen, en naast de eerder gegeven subsitituties ook nog b=-b in te vullen (om de oplossing voor de vergelijking x2 - bx -c=0 te vinden). (Natuurlijk wel zorgvuldig werken.) Daarnaast dus de opmerking dat de Babyloniërs voor beide typen vergelijking blijkbaar maar één oplossing gaven (in plaats van twee).