wie weet een eenvoudige formule om de lengte van een zijde van een regelmatige 24 hoek te berekenen?

Het antwoord hangt er hier een beetje vanaf wat je hier precies met ‘straal’ bedoelt.

Is dat de afstand van het middelpunt van de veelhoek tot het midden van een zijde ? Of is dat de afstand van het middelpunt tot een hoekpunt ?

Eigenlijk heet alleen de tweede (afstand centrum-hoekpunt) in dit geval echt ‘straal’, de ander (afstand centrum-midden zijde) wordt wel ‘apothema’ genoemd, maar dit terzijde).

In het eerste geval is de formule namelijk 2*a*tan(180/n), in het tweede geval 2*r*sin(180/n) . (met r de straal, en ‘a’ de apothema) .


Vul je deze getallen in, dan krijg je dus in jouw geval 2*420 * tan(180/24)= 110,59 cm in het eerste geval, en 2*420 * sin(180/24)=109,64 cm in het tweede geval.

Afleiding.

Deze formules zijn eenvoudig af te leiden door je de veelhoek voor te stellen, als opgebouwd uit n gelijkbenige driehoeken, met een tophoek (naar het middelpunt van de veelhoek ) van 360/n. Trek je een middelloodlijn vanuit de tophoek van zo’n driehoek, dan verdeel je zo’n gelijkbenige driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Zo’n rechthoekige driehoek heeft dan dus (naast een rechte hoek) een hoek van 180/n graden.

Ofwel: H1

C————M

H2

Waarbij H1 en H2 twee hoekpunten zijn van de veelhoek, C het centrum van de veelhoek, en M het midden van de zijde. De hoek H1CM is 180/n graden, en we willen de afstand H1M uitrekenen.

In het eerste geval weet je wat de afstand CM is, en dan kan je simpel uitrekenen dat
H1M gelijk is aan
tan(180/n)= H1M/CM, ofwel H1M = CM * tan(180/m). Dus is H1H2 het dubbele daarvan, ofwel

H1H2 = 2* CM * tan(180/n).

In het tweede geval weet je wat de afstand CH1 is, en dan kan je uitrekenen dat
sin(180/n)= H1M/CH1, ofwel H1M= CH1* sin(180/n). Dus is dan

H1H2 = 2* CH1 * sin (180/n).

Vullen we nu weer in dat CH1 eigenlijk de apothema, en CM de straal van onze oorspronkelijke veelhoek zijn, dan krijgen we de twee eerder genoemde formules.

Je kunt de oppervlakte van elk willekeurig figuur berekenen (of benaderen) door de figuur op te delen in kleinere, makkelijker te berekenen figuren. In een 24-hoek (zie afbeelding 1) passen precies 24 gelijkbenige driehoeken met één hoek van 15º en twee hoeken van 82,5º (afbeelding 2). Om de oppervlakte hiervan te berekenen moet je hem weer in tweeën delen. Een 24-hoek bestaat dus uit 48 rechthoekige driehoeken met één hoek van 7,5º en één hoek van 82,5º (afbeelding 3).

Nu hangt het er vanaf wat je met de straal bedoeld. Als de straal de lengte tussen middelpunt en hoek is, moet je AB (zie afbeelding 3) gelijkstellen aan 420 cm. Als de straal de kortste lijn tussen middelpunt en omtrek is, moet je AC gelijkstellen aan 420 cm.

Ik heb beide berekeningen voor je gemaakt (kijk even goed welke uitwerking AB = 420 cm heeft en welke AC = 420 cm heeft). Je zult één of twee ontbrekende zijden moeten berekenen met behulp van de tangens, de sinus of de cosinus. Daarna kun je de oppervlakte van driehoek ABC bepalen met 0,5 * basis * hoogte (= 0,5 * BC * AC). Deze oppervlakte moet je vermenigvuldigen met 48 om de oppervlakte van de gehele 24-hoek te krijgen. Onthoudt dat deze in cm^2 is. In m^2 is het getal 10 000 keer kleiner (100 * 100).