Kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar kruisen in het oneindige?

Ik gooi er even wat subtiele wiskunde tegenaan voor de fijnproevers.

Wat belangrijk is in de wiskunde is goede definities. Iedereen heeft bij "het platte vlak" een duidelijk beeld. Wat een rol speelt bij het zoeken naar een snijpunt zin de volgende zaken die gedefinieerd worden voordat je je de gestelde vraag kunt stellen:

1) hoe ziet je ruimte er uit?
Met het platte vlak wordt nu een een reële vectorruimte bedoeld. Dus eigenlijk RxR (R=de verzameling van alle reële getallen) met een afstandsbegrip (metriek). In dit geval is de afstand tussen (a,b) en (c,d) gedefinieerd als wortel((a-c)^2+(b-d)^2) (=zg Euclidische meetkunde)
Let op: "oneindig" is geen punt in deze ruimte!
Je hebt wel een generalisatie van lineaire ruimtes: bv projectieve ruimes. Hieraan is op een subtiele manier het punt oneindig toegevoegd. Maar over metriek moet je dan even overnieuw nadenken want dat past dan niet. Maar je kunt ook kijken naar een boloppervlak (aardoppervlak). Breedtelijnen zijn evewijdig en snijden nooit, maar lopen ze recht?

2) wat is een rechte lijn?
Een lijn is gewoon een deelverzameling van je ruimte met bepaalde eigenschappen. Welke eigenschappen? In een lineaire ruimte kun je dat definieren.

3) Hoe definieer je evenwijdig voor lijnen?
redelijk lijkt: gegeven lijn X en Y als deelverzamelingen van het vlak. X en Y zijn evenwijdig als er een afstand D bestaat zodat voor elk punt a uit X geldt dat er een punt b uit Y is zodat de afstand tussen a en b precies D is en dat de afstand tussen a en alle andere punten van Y groter of gelijk is aan D.

4) wat is een snijpunt?
Lijkt makkelijk: een punt dat twee deelverzamelingen gemeen hebben. Werkt ook voor lijnen.

(Ik merk dat ik bezig ben om Euclides uit mijn hoofd te reproduceren.)

Je moet dit allemaal scherp hebben voordat je iets kunt roepen over evenwijdig en snijpunten.

Maar in de originele vraagstelling: Snijden twee evenwijdige lijnen elkaar? Nee. Er is geen punt in het vlak dat beide gemeen hebben.
verplaats je het naar de projectieve afsluiting van het platte vlak: dan wel. In het toegevoegde punt "oneindig" maar daar lopen dan alle lijnen doorheen ook lijnen die elkaar sowieso al kruisen.