Waarom hebben verschillende formaten van driehoeken op een bol allemaal een andere hoekensom?

Op school heb je vast ooit een keer moeten leren dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180 graden is. En dat is ook zo. Alleen hoort daar wel een voorwaarde bij die we gemakshalve vaak achterwege laten, namelijk dat de driehoek op een plat vlak getekend moet zijn. Wiskundigen noemen dat een ‘euclidisch vlak’, omdat de griek Euclides als eerste precies opschreef wat voor basiseigenschappen meetkunde op het platte vlak heeft. Uit die basiseigenschappen kan dan de rest afgeleid worden, zoals bv. dat de som van de hoeken van een driehoek altijd hetzelfde is.

Waarom hebben driehoeken die je op een bol tekent geen som van 180 graden ? Dat komt omdat lijnen, en daarmee platte figuren, ‘vervormd’ worden op een bol.

Om dat te zien, pak maar eens een wereldbol,
(of kijk naar de rode lijnen in dit plaatje: http://www.educatief.diekeure.be/mundoleerling/uploads/oefentoetsen/focusthema%202%20-%206de%20leerjaar/meridiaan.jpg

Je kunt allemaal lijnen trekken die van de noord- naar de zuidpool lopen over het boloppervlak (meridianen). Bekijk bv. de lijnen die over Amsterdam en Tokyo lopen. Ze beginnen beide op de noordpool, lopen steeds verder van elkaar af tot ze bij de evenaar komen. Dan komen ze weer dichter bij elkaar tot ze elkaar weer tegenkomen op de zuidpool.

En toch zijn het allebei ‘rechte lijnen’ in die zin, dat je via het boloppervlak niet op een kortere manier van de noord- naar de zuidpool kunt gaan ! Bij rechte lijnen op het platte vlak zijn we gewend dat ze óf parallel lopen, óf elkaar één keer kruisen, maar hier gebeurt dat dus 2 keer.

Bij driehoeken gebeurt hetzelfde: als jij de kortste lijn van A naar B ("AB" )trekt, dan gaat die lijn bol naar buiten lopen, ook als AB zijde van een driehoek is. Zie bijvoorbeeld dit plaatje:

http://www.math.cornell.edu/~mec/tripleright.jpg

Omdat de zijden van de driehoek naar buiten bollen, betekent dat de hoeken ‘groter’ worden dan ze in het platte vlak zouden zijn, als je ze probeert te meten. Hoeveel groter, dat is afhankelijk van hoe groot je driehoek is in verhouding tot de bol. Een heel klein driehoekje op een heel grote bol blijft in de buurt van die 180 graden. Maar hoe groter je driehoek wordt, hoe meer de som gaat afwijken. Op het plaatje hierboven zie je zelfs een driehoek met 3 hoeken van 90 graden.

Zou je driehoeken op een HOL oppervlak tekenen, dan zou je precies het omgekeerde zien (som hoeken minder dan 180 graden).