Hoe bewijs ik dat een functie groter is dan een andere functie op een bepaald interval?

Question

Gegeven is de functie f(x)=e^(-x)
Er moet bewezen worden dat deze functie groter is dan g(x)=1-x
In het interval: x>0

Oftewel: e^(-x) > 1-x voor x>0

Dit kan ik wel redeneren maar niet bewijzen aan de hand van wiskundige berekeningen.
Hoe moet ik dit aanpakken?

 · Accepted Answer

De algemene methode is: Maak een nieuwe functie die het verschil weergeeft. 
f(x) = e^(-x) -(1-x)

Die functie heeft een maximum / minimum als de afgeleide 0 is
f'(x) = 1-e^(-x)

Die functie is 0 bij x=0
Dus voor alle waarden voor x>0 is de functie f(x) positief of negatief, maar wisselt niet van teken. Even een getalletje invullen (b.v. 1 ==> het is overal positief)

 · Answer

Als x=0 zijn beide functies 1.

f(x)'=-e^-x en is altijd groter dan -1 als x>0
g(x)'= -1 voor alle x > 0 dus daalt sneller dan de eerste.

Derhalve f(x)>g(x) voor x>0

Wat mijn voorganger zegt kan ook overigens.

Hoe bewijs ik dat een functie groter is dan een andere functie op een bepaald interval?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (1)

Bekijk alle vragen in deze categorieën: