Hoe is het eulergetal ontstaan en waarin kun je het allemaal toepassen?

Het getal wordt onder andere gebruikt bij complexe getallen, en dus bij Laplace- en Fouriertransformaties.
Het getal e komt dikwijls voor bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen.
Er worden groeiprocessen mee berekend, en het komt ook tevoorschijn bij de kans op een goede trekking bij het trekken van Sinterklaaslootjes.

Een verhaaltje ter inleiding.

Er was een bank, die 100% rente per jaar gaf, en daarnaast altijd precies de rente berekende over de periode waarop het op de bank had gestaan, geen afrondingen enzo.

De eerste klant legde € 1000 in.Hij had na een jaar € 2000 .
De tweede klant dacht slim te zijn, en legde óók €1000 in, maar nam het na een half jaar op - €1500 euro op dat moment- en stortte dat meteen terug, zodat hij niet €2000 had aan het eind van het jaar, maar € 1000+ 500 + (1000 + 500)/2) = €2250.

De derde klant dacht nóg slimmer te zijn, deed hetzelfde maar dan elk kwartaal, en kwam zo op

€1000+ €1000/4 + €1250/4 + €1562,5/4 + €1953,125/4= €2441,41 .

De vraag: kan je met deze truc willekeurig veel verdienen, door steeds vaker in te wisselen en meteen terug te storten? Het antwoord is: nee. Er is een bovengrens. Hoe vaak je ook inwisselt en terugstort, je kunt nooit méér krijgen dan (ongeveer) € 2718,28, ofwel '1000 * e'.

Hoe weten we dat ? Je kunt bovenstaande berekening anders uitvoeren, nl. zo:

€ 1000 is na 1/4 jaar € 1000 * (1+ 1/4)
€ 1000 * (1+ 1/4) is na nog eens 1/4 jaar (€ 1000*(1+ 1/4))*(1+1/4)= € 1000 * (1+ 1/4)^2.
...
zo krijg je
€ 1000 * (1+ 1/4)^4 na een jaar.

Zou je dus 'n' keer opnemen en meteen terugstorten, dan kwam je met dezelfde redenering op een eindbedrag uit van

€ 1000 * (1+ 1/n)^n

en de vraag is nu: waar gaat (1+ 1/n)^n naar toe als n naar oneindig gaat?

Het antwoord hierop is het getal 'e', wat ongeveer 2.7182818 ... is.

Uit dit verhaaltje mag (hoop ik) duidelijk worden dat het hier om een heel fundamenteel getal gaat. Net als het getal pi, even fundamenteel, zie je het op allerlei plekken in de wiskunde terug. Een paar vb:

-- De exponentiele functie e^x is gelijk aan zijn eigen afgeleide. Dat betekent dat deze functie op ieder moment precies even hard aangroeit als-ie op dat moment groot is.

-- Er zijn allerlei verbanden tussen deze functie en bv. sin(x) en cos(x). Dat klinkt wat gek maar als je met complexe getallen gaat werken zal je dit tegenkomen.

-- zelfs in combinatorische problemen. Stel, je moet n steden precies één keer aandoen. Dit kan volgens n! routes. Maar tel je ook alle mogelijkheden mee waarbij je één of meer steden overslaat, dan kan het op n!*e manieren. Dit komt omdat je e als verschillende 'mooie' reeksen kunt schrijven.

-- en nog veel meer ...

Er zijn kortom, heel veel toepassingen.

Sorry hoor maar bovenstaande antwoorden zijn maar deels correct. Uiteraard kent het eulergetal vele toepassingen , maar het ontstaan is anders.

Euler stelde zichzelf de vraag of er een functie bestond zodat de afgeleide van de functie gelijk was aan de functie zelf.

Kortom f(x)'=f(x)

Zo een functie was er namelijk in de vorm van een exponentiele functie dus van de vorm a^x waarbij het al snel bekend was dat a tussen 2 en 3 moest liggen.
Het getal e is een irrationaal getal (bij benadering 2,7) waarvoor geldt e^x'=e^x

Voila dat is de oorsprong. Wil je het meer precies weten moet je maar eens wat literatuur zoeken, maar dit is het oorspronkelijke idee. Verder heeft het getal tal van toepassingen natuurlijk.