hoe los ik deze logaritme op:²log²x + ²log(x-1)=1?

²log²x + ²log(x - 1) = 1

Omrekenen: ²log²x = (²log x)² = ²log x * ²log x = ²log x^(²log x)
En: 1 = log 2/log 2 = ²log 2

²log x^(²log x) + ²log(x - 1) = ²log 2

Formule: log f(x) + log g(x) = log(f(x)*g(x))

²log(x^(²log x) * (x - 1)) = ²log 2

Formule: log f(x) = log g(x) → f(x) = g(x)

x^(²log x) * (x - 1) = 2
x^(1+²log x) - x^(²log x) = 2
x^(1+²log x) - x^(²log x) - 2 = 0

Voor abc-formule heb ik ax² + bx¹ + c = 0 nodig.
Dus:

x^(1+²log x) = x² en x^(²log x) = x¹
1+²log x = 2 en ²log x = 1
²log x = 1 en ²log x = 1 (nu zijn ze beide dezelfde, dus nu maar één nodig)
²log x = ²log 2
x = 2

Met deze logica, dan is het nu al opgelost.
kijk maar, een bewijs:

x^(1+²log x) - x^(²log x) - 2 = 0 met ²log x = 1
x^(1+1) - x^(1) - 2 = 0
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x + 1 = 0 V x - 2 = 0
x = -1 V x = 2

Gezien de formule logaritmen heeft, dus de waarden van logaritmen mogen niet negatief zijn. Anders leiden ze tot de imaginair getalcomplex, dus ik zet hier een eis dat een x moet 0 of meer te zijn.

{x ≥ 0}
De oplossing is dus: x = 2

Ter controle:

²log²x + ²log(x - 1) = 1 met x = 2
²log²2 + ²log(2 - 1) = 1
1 + ²log(1) = 1
1 + 0 = 1
1 = 1
Q.E.D.

Toegevoegd na 13 minuten:
Aw, ik vergat een kwadraat bij "Ter controle":
"1² + ²log(1) = 1" i.p.v. "1 + ²log(1) = 1" dan was het perfect geweest.