hoe bereken je het aantal variaties van n uit n+1?

Kort antwoord:

Dat is (n+1)! = (n+1) * n * (n-1)* (n-2) * ... 3 * 2* 1.


Lang antwoord:

Het aantal variaties van k uit n is het aantal mogelijkheden waarmee je k objecten uit (een grotere groep van ) n objecten kunt kiezen, waarbij je elk object maar één keer kunt kiezen en waarbij de volgorde van de keuze er toe doet.

Dus is bijvoorbeeld het aantal variaties van 2 uit {1,2,3} gelijk aan 6, want je kunt kiezen:

1,2
1,3,
2,1
2,3
3,1
3,3

Hoe reken je dit in z’n algemeenheid uit?

Stel we gaan die objecten één voor één kiezen.

Voor het eerste object hebben we n keuzemogelijkheden.

Voor het tweede object hebben we nog (n-1) keuzemogelijkheden (want die we de bij de eerste gekozen hebben kunnen we niet opnieuw kiezen). Dus we kunnen de eerste twee objecten samen op n * (n-1) manieren kiezen.

Voor het derde object hebben we (n-2) mogelijkheden (want de eerste twee gekozen objecten kunnen we niet opnieuw kiezen). Dus kunnen we de eerste 3 objecten samen op n* (n-1) * (n-2) manieren kiezen.

Zo doorredenerend kunnen we de eerste k objecten samen kiezen op
n * (n-1 ) * (n-2) .... * (n -k +1) manieren. Dit noemen we dus het aantal variaties van k uit n.

Er is een kortere manier om dit te schrijven, en wel met faculteiten.
De faculteit van n is het aantal 'volgordes' waarin je n objecten kunt zetten, en is gelijk aan
n= n * (n-1 ) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1

Het aantal variaties van k uit n is daarmee gelijk aan n! / (n-k)!, want

n! / (n-k)! =

n * (n-1 ) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1
——————————————————— =
k *(k-1) * (k-2) * ... 3 * 2 * 1

n * (n-1 ) * (n-2) .... * (n -k +1)

omdat je alle factoren in de noemer kunt wegstrepen tegen dezelfde factoren in de teller.

Je vroeg naar het aantal variaties n uit n +1 . Dat is nu simpelweg een kwestie van invullen:

(n+1)! / (n+1-n)! = (n+1)! / 1! = (n+1)! = (n+1) * n * (n-1)* (n-2) * ... 3 * 2* 1.

Bijvoorbeeld in het voorbeeld waarmee ik begon:
Het aantal variaties van 2 uit 3 is gelijk aan 3! = 3* 2 = 6.


P.s. ‘Variaties’ moet je niet verwarren met ‘permutaties’, waarbij de volgorde van de k objecten er NIET toe doet. De formule daarvoor is n! / ( (n-k)! * k! ) . Je deelt dan nog een keer extra door k! omdat je bij bovenstaande manier van uitrekenen alle mogelijke volgordes van het rijtje k als afzonderlijke mogelijkheden meetelt, dus daar moet je dan nog op die manier van af komen.