Waar is die straal² in de formule van cirkel voor?

straal is de helft van de diameter.

De cirkel in zijn meest wiskundige zin is de meetkundige plaats van een punt.
Met meetkundige plaats wordt bedoeld dat de afstand overal gelijk is.
Een cirkel heeft dit in het middelpunt: de afstand van elk punt op de cirkel tot het middelpunt is gelijk. Het middelpunt is dan dus het punt wat ik bedoel, en de meetkundige plaats een cirkel. Als we alle punten tekenen met afstand 1 cm tot het punt, krijgen we een cirkel met een straal van 1 cm. De afstand van het middelpunt tot de cirkel is de straal, ook wel r genoemd.

Toegevoegd na 7 minuten:
En waarom dit zo is, daar vraag je me wat. We kunnen het bewijzen:

als we de functie f(x) = wortel(1- x^2) nemen, kunnen we zeggen dat elk punt op de functie afstand 1 tot de oorsprong heeft.
afstand vanuit de oorsprong is wortel(p^2 + f(p)^2) als we p invullen:
die afstand is dus wortel(p^2 + (wortel(1-x^2)^2) = wortel(p^2 + 1 - p^2) = wortel(1) = 1. (stelling v. Pythagoras

Vervolgens is daarmee te integreren, maar het primitiveren van wortel(1-x^2) is een beetje moeilijk. 2*A onder de grafiek moet dan de oppervlakte van een cirkel zijn. Ik ga even kijken hoever ik kom ;-)

Toegevoegd na 9 minuten:
als je f(x) = wortel(r^2 - x^2) neemt, heb je het over dezelfde functie, alleen dan kan er voor r van alles ingevuld worden, en niet alleen 1.

Toegevoegd na 28 minuten:
Ik heb even de primitieve opgezocht: dat is 1/2*(wortel(1-x^2)*x + arcsin(x)).
Als we deze functie integreren van -1 tot 1 krijgen we een oppervlakte van:
1/2*(wortel(1-1)*1 + arcsin(1)) - 1/2*(wortel(1-1)*-1+arcsin(-1) = 1/2*(arcsin(1)) - 1/2*arcsin(-1) = 1/2*1/2*pi - 1/2*-1/2*pi = 1/4*pi + 1/4*pi = 1/2*pi.
Dit is een halve cirkelboog. Een hele is dus pi. Dit klopt dus, want dan staat er ook pi*1^2.
Voor een constante r is het allemaal weer iets moeilijker.

In de oppervlakteformule kan zowel de diameter als de straal gebruikt worden.
Oppervlakte is dan: ¼ πd² of (meer gebruikelijk): πr², dat is hetzelfde.

De grondregel voor oppervlakteberekening is natuurlijk zoiets als “hoogte x breedte”.
Bij een cirkel is zowel de hoogte als de breedte gelijk aan d (of 2r).
De berekening kan dus beginnen met: (2r)².
Maar omdat een cirkel geen vierkant is, moeten we dan deze uitkomst nog bewerken met pi.
En wel zo: (2r)² x ¼ π.
Uitgewerkt geeft dat: 4r² x ¼ π = r² x π = πr².

Een andere benadering.

Als je een serie knikkers hebt, gelegd in een blok van 3 bij 5 knikkers, dan heb je 15 knikkers (3x5). Idem voor een stuk land van 3 x 5 meter, die bestaat uit 15 stukken land van 1x1m. De oppervlakte van een rechthoekig stuk land wordt dus berekend door de lengte x de breedte te doen.

Een cirkel is altijd net zo breed als dat hij hoog is, alleen zijn er hoeken af, zou je kunnen zeggen. Om daarop te corrigeren in een oppervlakteberekening, is er een bepaalde correctiefactor nodig. Je krijgt dan voor de oppervlakte:
breedte v/d cirkel x hoogte v/d cirkel x correctiefactor
De breedte en de hoogte zijn altijd gelijk, en noemt men de diameter. De straal is de helft daarvan:
(straal v/d cirkel x 2) x (straal v/d cirkel x 2) x correctiefactor
Of anders neergezet:
straal x straal x 4 x correctiefactor
Of anders neergezet:
straal² x andere correctiefactor

Je zou pi dus kunnen zien als de correctiefactor voor oppervlakteberekeningen van cirkels, die correctiefactor is voor cirkels altijd hetzelfde.

Oppervlakteberekeningen voor ellipsen kun je daar vervolgens weer van afleiden, zoals je je kunt voorstellen.

Toegevoegd na 2 minuten:
Voor vierkanten geldt trouwens OOK dat de lengte en de breedte altijd gelijk zijn. De oppervlakte van een vierkant is dus:
l x b = l² = b²
Dus daar staat dat kwadraat ook al in.