Waar is die straal² in de formule van cirkel voor?
Ik weet dat ik met de formule A=π*r² de oppervlakte van de cirkel kan berekenen, maar waar staat Straal² voor? en waarom is dat zo?
3K
3K keer bekeken
Geef jouw antwoord
Het beste antwoord
Dat kan je afleiden als je weet dat de omtrek van de cirkel = 2.π.r
Je begint je cirkel dan in stukjes te snijden. Al die stukjes moeten het middelpunt van die cirkel bevatten en al die stukjes moeten onder dezelfde hoek afgesneden zijn. Die hoek moet zo klein mogelijk zijn. Hoe kleiner de hoek, hoe meer de stukjes op driehoeken gaan lijken. Driehoekjes waarvan 2 zijden dan gelijk zijn aan de straal van deze cirkel. Die driehoeken kan je dan weer allemaal in 1 rijtje gaan leggen om een parallellogram te vormen door deze gelijke zeiden naast elkaar te leggen..
De oppervlakte van deze parallellogram is dus dezelfde als de oppervlakte van deze cirkel.
De oppervlakte van een parallellogram = basis . hoogte.
Die hoogte is dan logischerwijs gelijk aan de straal van deze cirkel.
De omtrek van die cirkel vinden we aan beide zijden van die parallellogram terug. Dus de basis van deze parallellogram = de omtrek van deze cirkel / 2
Omtrek cirkel / 2 = π.r
Dus oppervlakte van de cirkel wordt dan: π.r.r = π.r²
Daarom is dat zo.
Je begint je cirkel dan in stukjes te snijden. Al die stukjes moeten het middelpunt van die cirkel bevatten en al die stukjes moeten onder dezelfde hoek afgesneden zijn. Die hoek moet zo klein mogelijk zijn. Hoe kleiner de hoek, hoe meer de stukjes op driehoeken gaan lijken. Driehoekjes waarvan 2 zijden dan gelijk zijn aan de straal van deze cirkel. Die driehoeken kan je dan weer allemaal in 1 rijtje gaan leggen om een parallellogram te vormen door deze gelijke zeiden naast elkaar te leggen..
De oppervlakte van deze parallellogram is dus dezelfde als de oppervlakte van deze cirkel.
De oppervlakte van een parallellogram = basis . hoogte.
Die hoogte is dan logischerwijs gelijk aan de straal van deze cirkel.
De omtrek van die cirkel vinden we aan beide zijden van die parallellogram terug. Dus de basis van deze parallellogram = de omtrek van deze cirkel / 2
Omtrek cirkel / 2 = π.r
Dus oppervlakte van de cirkel wordt dan: π.r.r = π.r²
Daarom is dat zo.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Andere antwoorden (3)
straal is de helft van de diameter.
De cirkel in zijn meest wiskundige zin is de meetkundige plaats van een punt.
Met meetkundige plaats wordt bedoeld dat de afstand overal gelijk is.
Een cirkel heeft dit in het middelpunt: de afstand van elk punt op de cirkel tot het middelpunt is gelijk. Het middelpunt is dan dus het punt wat ik bedoel, en de meetkundige plaats een cirkel. Als we alle punten tekenen met afstand 1 cm tot het punt, krijgen we een cirkel met een straal van 1 cm. De afstand van het middelpunt tot de cirkel is de straal, ook wel r genoemd.
Toegevoegd na 7 minuten:
En waarom dit zo is, daar vraag je me wat. We kunnen het bewijzen:
als we de functie f(x) = wortel(1- x^2) nemen, kunnen we zeggen dat elk punt op de functie afstand 1 tot de oorsprong heeft.
afstand vanuit de oorsprong is wortel(p^2 + f(p)^2) als we p invullen:
die afstand is dus wortel(p^2 + (wortel(1-x^2)^2) = wortel(p^2 + 1 - p^2) = wortel(1) = 1. (stelling v. Pythagoras
Vervolgens is daarmee te integreren, maar het primitiveren van wortel(1-x^2) is een beetje moeilijk. 2*A onder de grafiek moet dan de oppervlakte van een cirkel zijn. Ik ga even kijken hoever ik kom ;-)
Toegevoegd na 9 minuten:
als je f(x) = wortel(r^2 - x^2) neemt, heb je het over dezelfde functie, alleen dan kan er voor r van alles ingevuld worden, en niet alleen 1.
Toegevoegd na 28 minuten:
Ik heb even de primitieve opgezocht: dat is 1/2*(wortel(1-x^2)*x + arcsin(x)).
Als we deze functie integreren van -1 tot 1 krijgen we een oppervlakte van:
1/2*(wortel(1-1)*1 + arcsin(1)) - 1/2*(wortel(1-1)*-1+arcsin(-1) = 1/2*(arcsin(1)) - 1/2*arcsin(-1) = 1/2*1/2*pi - 1/2*-1/2*pi = 1/4*pi + 1/4*pi = 1/2*pi.
Dit is een halve cirkelboog. Een hele is dus pi. Dit klopt dus, want dan staat er ook pi*1^2.
Voor een constante r is het allemaal weer iets moeilijker.
De cirkel in zijn meest wiskundige zin is de meetkundige plaats van een punt.
Met meetkundige plaats wordt bedoeld dat de afstand overal gelijk is.
Een cirkel heeft dit in het middelpunt: de afstand van elk punt op de cirkel tot het middelpunt is gelijk. Het middelpunt is dan dus het punt wat ik bedoel, en de meetkundige plaats een cirkel. Als we alle punten tekenen met afstand 1 cm tot het punt, krijgen we een cirkel met een straal van 1 cm. De afstand van het middelpunt tot de cirkel is de straal, ook wel r genoemd.
Toegevoegd na 7 minuten:
En waarom dit zo is, daar vraag je me wat. We kunnen het bewijzen:
als we de functie f(x) = wortel(1- x^2) nemen, kunnen we zeggen dat elk punt op de functie afstand 1 tot de oorsprong heeft.
afstand vanuit de oorsprong is wortel(p^2 + f(p)^2) als we p invullen:
die afstand is dus wortel(p^2 + (wortel(1-x^2)^2) = wortel(p^2 + 1 - p^2) = wortel(1) = 1. (stelling v. Pythagoras
Vervolgens is daarmee te integreren, maar het primitiveren van wortel(1-x^2) is een beetje moeilijk. 2*A onder de grafiek moet dan de oppervlakte van een cirkel zijn. Ik ga even kijken hoever ik kom ;-)
Toegevoegd na 9 minuten:
als je f(x) = wortel(r^2 - x^2) neemt, heb je het over dezelfde functie, alleen dan kan er voor r van alles ingevuld worden, en niet alleen 1.
Toegevoegd na 28 minuten:
Ik heb even de primitieve opgezocht: dat is 1/2*(wortel(1-x^2)*x + arcsin(x)).
Als we deze functie integreren van -1 tot 1 krijgen we een oppervlakte van:
1/2*(wortel(1-1)*1 + arcsin(1)) - 1/2*(wortel(1-1)*-1+arcsin(-1) = 1/2*(arcsin(1)) - 1/2*arcsin(-1) = 1/2*1/2*pi - 1/2*-1/2*pi = 1/4*pi + 1/4*pi = 1/2*pi.
Dit is een halve cirkelboog. Een hele is dus pi. Dit klopt dus, want dan staat er ook pi*1^2.
Voor een constante r is het allemaal weer iets moeilijker.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
In de oppervlakteformule kan zowel de diameter als de straal gebruikt worden.
Oppervlakte is dan: ¼ πd² of (meer gebruikelijk): πr², dat is hetzelfde.
De grondregel voor oppervlakteberekening is natuurlijk zoiets als “hoogte x breedte”.
Bij een cirkel is zowel de hoogte als de breedte gelijk aan d (of 2r).
De berekening kan dus beginnen met: (2r)².
Maar omdat een cirkel geen vierkant is, moeten we dan deze uitkomst nog bewerken met pi.
En wel zo: (2r)² x ¼ π.
Uitgewerkt geeft dat: 4r² x ¼ π = r² x π = πr².
Oppervlakte is dan: ¼ πd² of (meer gebruikelijk): πr², dat is hetzelfde.
De grondregel voor oppervlakteberekening is natuurlijk zoiets als “hoogte x breedte”.
Bij een cirkel is zowel de hoogte als de breedte gelijk aan d (of 2r).
De berekening kan dus beginnen met: (2r)².
Maar omdat een cirkel geen vierkant is, moeten we dan deze uitkomst nog bewerken met pi.
En wel zo: (2r)² x ¼ π.
Uitgewerkt geeft dat: 4r² x ¼ π = r² x π = πr².
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Een andere benadering.
Als je een serie knikkers hebt, gelegd in een blok van 3 bij 5 knikkers, dan heb je 15 knikkers (3x5). Idem voor een stuk land van 3 x 5 meter, die bestaat uit 15 stukken land van 1x1m. De oppervlakte van een rechthoekig stuk land wordt dus berekend door de lengte x de breedte te doen.
Een cirkel is altijd net zo breed als dat hij hoog is, alleen zijn er hoeken af, zou je kunnen zeggen. Om daarop te corrigeren in een oppervlakteberekening, is er een bepaalde correctiefactor nodig. Je krijgt dan voor de oppervlakte:
breedte v/d cirkel x hoogte v/d cirkel x correctiefactor
De breedte en de hoogte zijn altijd gelijk, en noemt men de diameter. De straal is de helft daarvan:
(straal v/d cirkel x 2) x (straal v/d cirkel x 2) x correctiefactor
Of anders neergezet:
straal x straal x 4 x correctiefactor
Of anders neergezet:
straal² x andere correctiefactor
Je zou pi dus kunnen zien als de correctiefactor voor oppervlakteberekeningen van cirkels, die correctiefactor is voor cirkels altijd hetzelfde.
Oppervlakteberekeningen voor ellipsen kun je daar vervolgens weer van afleiden, zoals je je kunt voorstellen.
Toegevoegd na 2 minuten:
Voor vierkanten geldt trouwens OOK dat de lengte en de breedte altijd gelijk zijn. De oppervlakte van een vierkant is dus:
l x b = l² = b²
Dus daar staat dat kwadraat ook al in.
Als je een serie knikkers hebt, gelegd in een blok van 3 bij 5 knikkers, dan heb je 15 knikkers (3x5). Idem voor een stuk land van 3 x 5 meter, die bestaat uit 15 stukken land van 1x1m. De oppervlakte van een rechthoekig stuk land wordt dus berekend door de lengte x de breedte te doen.
Een cirkel is altijd net zo breed als dat hij hoog is, alleen zijn er hoeken af, zou je kunnen zeggen. Om daarop te corrigeren in een oppervlakteberekening, is er een bepaalde correctiefactor nodig. Je krijgt dan voor de oppervlakte:
breedte v/d cirkel x hoogte v/d cirkel x correctiefactor
De breedte en de hoogte zijn altijd gelijk, en noemt men de diameter. De straal is de helft daarvan:
(straal v/d cirkel x 2) x (straal v/d cirkel x 2) x correctiefactor
Of anders neergezet:
straal x straal x 4 x correctiefactor
Of anders neergezet:
straal² x andere correctiefactor
Je zou pi dus kunnen zien als de correctiefactor voor oppervlakteberekeningen van cirkels, die correctiefactor is voor cirkels altijd hetzelfde.
Oppervlakteberekeningen voor ellipsen kun je daar vervolgens weer van afleiden, zoals je je kunt voorstellen.
Toegevoegd na 2 minuten:
Voor vierkanten geldt trouwens OOK dat de lengte en de breedte altijd gelijk zijn. De oppervlakte van een vierkant is dus:
l x b = l² = b²
Dus daar staat dat kwadraat ook al in.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Deel jouw antwoord