hoe werkt de Banach Tarski paradox?

De Banach-Tarski-paradox werkt met niet-continue, niet-samenhangende deelverzamelingen.
Wanneer we een driedimensionaal lichaam (b.v. een appel) in stukken snijden, dan kan dat op verschillende manieren (b.v. in partjes of in plakjes). Voor ieder punt van het oorspronkelijke lichaam geldt dan dat het in precies één van de stukken terechtkomt. We verdelen alle punten van het lichaam in een aantal disjuncte deelverzamelingen (d.w.z. niet overlappend, en samen vormen ze het hele lichaam).
Normaliter denken we bij dat soort stukken aan continue en samenhangende delen van het lichaam. Als een punt tot een bepaald deel behoort, dan behoren alle punten in de omgeving van dat punt waarschijnlijk ook tot dat deel (in de buurt van het snijvlak zijn natuurlijk uitzonderingen).
Welnu, Banach en Tarski hebben deelverzamelingen bedacht, waarvoor dat niet geldt. De punten van de verschillende delen liggen zodanig tussen elkaar in, dat op welk micro-niveau je ook gaat kijken, er altijd weer punten van de ene verzameling tussen punten van de andere verzameling liggen. Voor zulke verzamelingen is het onmogelijk om een volume te definiëren en daardoor volgt ook het paradoxale resultaat de de deelverzamelingen, wanneer op een andere manier weer samengevoegd, ineens het dubbele volume hebben.
Als je echt een appel op een Banach-Tarski-manier zou willen verdelen heb je niet alleen een heel bijzonder mes nodig, maar je zou ook door de moleculen en atomen moeten snijden (en door willekeurig kleine substructuren, als die er al zijn). Natuurkundig dus onmogelijk, maar wiskundig klopt het echt!