Hoe zie je in een parametervoorstelling of in je bereik bij Window op de GR terug hoe vaak een Lissajous figuur wordt doorlopen?

Wat je in je GR moet invullen kan ik je niet precies vertellen, ik werk niet met GR’s. Wel kan ik iets vertellen over lissajousfiguren.

Belangrijk is dat bij een ‘gewone’ grafiek y als functie van x gezien wordt, maar dat bij een lissajousfiguur (en andere krommen) zowel y als x zelf weer functies van een parameter (vaak t) zijn.

Dat klinkt ingewikkeld, maar het valt best mee. Het betekent eigenlijk gewoon dat je naar 2 functies tegelijk kijkt, die je zou kunnen uittekenen, en dan zou je twee 'gewone' grafieken hebben (dus een grafiek van x tegen t en een grafiek van y tegen t). Eigenlijk hebben x en y alleen maar indirect met elkaar te maken, ze zijn wel allebei afhankelijk van t, maar niet direct van elkaar.

Dat betekent dat je ook heel goed naar de ‘losse’ functies kunt kijken om het gedrag van de figuur als geheel te snappen.

Dus bijvoorbeeld de lissajousfiguur die gegeven wordt door

x (t) = 5sin(2t)
y (t) = 3cos(3t)

kan je ook begrijpen door naar de ‘losse’ functies sin(2t) en cos(3t) te kijken.

Bijvoorbeeld de vraag: ‘voor welke periode van t wordt de lissajousfiguur precies één
keer doorlopen?’, kan je op die manier beantwoorden. Stel dat je op t=0 begint, bij welke t weet je dan zeker dat je de hele figuur gehad hebt en ‘opnieuw begint’ ?

Dat is wanneer zowel de functie voor x, x(t), als die voor y, y(t), zich precies herhaalt . Als je dus naar de twee losse functies x(t) en y(t) kijkt, dan moet je dus een interval voor t vinden waarin zowel de periode van x(t) als de periode van y(t) precies een geheel aantal keer past.

Nu heeft x(t)=sin(2t) een periode van pi (omdat de standaardsinus een periode van 2Pi heeft), en y(t) heeft een periode van 2pi/3. In het interval t=[0..2pi] passen precies 2 periodes van de functie x(t) en 3 periodes van de functie y(t). Ook kan je geen kleiner interval voor t vinden waarin precies een periode voor x(t) én precies een periode voor y(t) past. Met andere woorden, de periode van de lissajousfiguur als geheel is 2pi.

Zou je bv. de lissajousfiguur

x(t) = sin(2t + 0.25 pi)
y(t) = sin (4t)

hebben, dan zou x(t) een periode van pi hebben, en y(t) een periode van pi/2. Dan past dus in t=[0..Pi] de periode van de functie x(t) 1 keer, en de periode van y(t) 2 keer.

Ik hoop dat je hier iets aan hebt, je vraag was tamelijk algemeen, maar jammer genoeg heb ik geen ruimte hier om overal op in te gaan