Hoe kan je aantonen dat het punt Q(2,3) geen raaklijnen bevat aan de hyperbool=>4x^2-y^2=4?

Het kortere antwoord:
Q ligt binnen de convexiteit van een van de armen van de hyperbool, en die punten hebben geen raaklijn met de hyperbool.

Een vollediger antwoord:
De hyperbool voldoet aan f = 4x^2-y^2-4 = 0. De differentiaal van f is gelijk aan df = 8x*dx-2y*dy = 0, zodat dy/dx = 4x/y. Een lijn die de parabool raakt in een punt P = (x,y) zal dus als helling moeten hebben 4*x/y.
Maar een rechte lijn die door zowel P = (x,y) als Q = (2,3) gaat, moet ook wel helling delta-y/delta-x = (3-y)/(2-x) hebben.
Dat zou betekenen dat 4*x/y = (3-y)/(2-x) <=> 4*x*(2-x) = y*(3-y) <=> -4x^2+8x = -y^2+3y.
Maar omdat het punt (x,y) ook op de parabool ligt, moet 4x^2= y^2+4. Tellen we die uitdrukkingen bij elkaar op, krijgen we 8x=3y+4. Kwadrateren: 64x^2=9y^2+24y+16. Maar uit de parabool volgt 64x^2=16y^2+64. Van elkaar aftrekken geeft 7y^2-24y+48 = 0. De determinant daarvan is negatief, dus die heeft geen oplossingen.