Hoe los je bgtan(sqtx) via partiele integratie op?

Ik hoop dat dit antwoord een beetje overzichtelijk is, deze omgeving is niet zo geschikt voor formulewerk.

Ik werk met de afkorting arctan, omdat ik daarmee meer vertrouwd ben,
met int (f(x) ) dx bedoel ik de primitieve van f(x) naar x. Is er geen verwarring mogelijk, dan laat ik de ‘dx’ weg.
en met f ’ de afgeleide van f (naar x)

Te primitiveren:

f(x) = arctan (sqrt(x)) , met behulp van partiele integratie.

De partiele integratieregel zegt:
int (f g’ ) = f g - int (f ’ g )

Stel nu f = arctan (sqrt(x)) en g ’ = 1, dus g = x

Dan
int (1 * arctan (sqrt(x)) ) = x * arctan (sqrt(x)) - int (x * ( arctan (sqrt(x) ) ) ’ )

We moeten dus uitwerken wat de primitieve van x * ( arctan (sqrt(x) ) ’ wordt.

Nu is x* ( arctan (sqrt(x) ) ’ gelijk aan x/ (1+ sqrt(x)^2) * (sqrt(x) ) ’ (kettingregel) =
x/ (1+ sqrt(x)^2) * 1/ (2* sqrt(x)) , en deze functie moeten we gaan primitiveren.

Nu kunnen we de kettingregel ‘omgekeerd’ toepassen, en de ‘sqrt(x)’ "in" de differentiaal stoppen:

int x/ (1+ sqrt(x)^2) * 1/ (2* sqrt(x) ) d x =
int x/ (1+ sqrt(x)^2) d (sqrt(x))

substutiueer nu (tijdelijk) een nieuwe variabele, sqrt(x)=u, dan krijgen we:

int x/ (1+ sqrt(x)^2) d (sqrt(x)) =
int u^2 / (1+ u ^2 ) du =

int (1+ u^2 ) / (1+ u ^2 ) du - int 1/ (1+u^2) du =

int 1 du - artcan u= u - arctan u.

Teruginvullen oorspronkelijke variabele levert dus op: sqrt(x) - arctan(sqrt(x))
, en dit is dus de primitieve van x * ( arctan (sqrt(x) ) ’ .

Dit weer invullen in de ‘totaalformule’ van de partiele integratie levert op:

int (1 * arctan (sqrt(x)) ) = x * arctan (sqrt(x)) - int (x * ( arctan (sqrt(x) ) ) ’ ) =


x* arctan(sqrt(x)) - ( sqrt(x) - arctan(sqrt(x)) ) =

x* arctan(sqrt(x)) - sqrt(x) + arctan(sqrt(x))

Toegevoegd na 11 minuten:
Dit antwoord moeten we natuurlijk eigenlijk nog controleren door het te differentieren, dan moeten we arctan(sqrt(x)) terug krijgen.

( x* arctan(sqrt(x)) - sqrt(x) + arctan(sqrt(x)) ) ' =
( x* arctan(sqrt(x)) ) '- ( sqrt(x) ) ' + ( arctan(sqrt(x)) ) '
= 1 * arctan(sqrt(x)) + x * (1/ (1+ (sqrt(x)^2) ) * 1/ (2*sqrt(x) )
- 1/ (2*sqrt(x) ) + (1/ (1+ (sqrt(x)^2) ) * 1/ (2*sqrt(x) )

- invullen sqrt(x)^2 = x

= arctan(sqrt(x)) + x * (1/1+x) * 1/ (2*sqrt(x) ) - 1/ (2*sqrt(x) +
+ 1/ (1+ x) * 1/ (2*sqrt(x) )
Tweede en vierde term bij elkaar optellen:
=arctan(sqrt(x)) + (1+x) * (1/1+x) * 1/ (2*sqrt(x) ) - 1/ (2*sqrt(x)
= arctan(sqrt(x)) + 1/ (2*sqrt(x) ) - 1/ (2*sqrt(x)
= arctan (sqrt(x)).

Klopt dus.