Als ik bij een spel 49% kans van slagen heb hoe bereken ik dan hoeveel % kans ik heb dat ik 1 2 3 4 5 6 7 enz keer verlies?

Het antwoord op deze vraag hangt af van wat de vraag precies is.

Is de vraag ‘hoe groot is de kans dat ik als ik k keer speel en dan ook k keer achter elkaar verlies’, dan is het antwoord 0.51^k .

Maar stel, de vraag is: Stel ik speel 10 keer, hoe groot is de kans dat ik precies 3 keer verlies? Nu moet je niet alleen meenemen dat je precies 3 keer verliest (en 7 keer wint), maar ook _op hoeveel manieren_ dat kan gebeuren (bv. het 1e , 2e, 3e spel en de rest niet, of het 1e, 2e, 4e spel en de rest niet ... en zo alle mogelijkheden langs).

Hoeveel van dit soort rijtjes zijn er ? Je hebt 10 mogelijkheden om het eerste getal (‘spel’) te pakken, nog 9 voor het tweede, en 8 voor het derde. Dus zijn er 10*9*8 van zulke rijtjes. Alleen ben je er dan nog niet helemaal, want je hebt rijtjes gepakt die alleen verschillen qua volgorde. Voor 1,2,3 bv.

1,2,3,
1,3,2
2,1,3,
2,3,2
3,1,2
3,2,1

Je moet het totaal dat je net gevonden hebt nog door 6 delen omdat er 6 volgordes zijn voor elk rijtje. Waarom 6 ? Net als hierboven kan je laten zien dat je het eerste getal van de 3 op 3 posities kunt neerzetten, het 2e getal op de 2 overgebleven posities en voor het laatste getal heb je geen keus meer.

Er zijn daarom 10*9*8 / (3*2) van zulke rijtjes= 120 rijtjes.

De kans dat je _precies_ 3 spellen verliest (en 7 wint) is daarom:

0.51^3 * 0.49^7 * 120

De eerste factor is de kans dat je 3 spellen verliest, de tweede is de kans dat je de 7 ‘overgebleven’ spellen wint, en de derde is het aantal manieren waarop dat kan. Dit levert je een percentage op van 10,8%.

Algemener kan je met deze redenenering laten zien dat de kans dat je k spellen wint uit een set van n, met een succeskans van p, uit kunt rekenen met de formule

p^k * (1-p) ^(n-k) * (n! / ((n-k)! k! ) )

waarbij bv. n! staat voor n faculteit (=1*2*3*4 ... *(n-1)* n) . Deze formule ziet er misschien ingewikkeld uit, maar het is hetzelfde als wat ik hierboven uitgerekend heb, maar dan algemener.

In de wiskunde heet dit een binomiale verdeling.

Wil je bv. weten hoe groot de kans is dat je méér dan 3 spellen wint, dan moet je alle losse kansen uitrekenen, en dat wordt al snel veel rekenwerk, vooral bij hoge n. Gelukkig zijn er manieren waarop je dit anders kunt berekenen, bv. door dit op te zoeken in tabellen, of te benaderen met de normale verdeling als n>25 (maar dat voert nu te ver).

http://www.math4all.nl/MathAdore/ha-g12.html

http://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling