Back to frontpage
Hét vraag- en antwoordplatform van Nederland

hoe los je deze vergelijking op?

Ik heb deze som van een tijdschrift, maar ik vind hem moeilijker dan hij dacht. Hij is alsvolgt: a^2+b^3=7148 en b^2+a^3=5274. Wat is nu a en wat is b, hoe reken je dat uit?

Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
in: Wiskunde
1.2K
Poet
10 jaar geleden
Het levert iig een mooie grafiek op:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2+%2B+b%5E3+%3D+b%5E2+%2B+a%5E3+%2B+1874
WimNobel
10 jaar geleden
Inderdaad, een mooie grafiek. Maar het is niet nodig, en ook niet gewenst, om beide vergelijkingen tot één te reduceren. Dat deze grafiek door het reële punt (17,19) gaat toont nog niet aan dat beide afzonderlijke vergelijkingen daar wel aan voldoen.
Het stelsel direct invoeren in Wolphram Alpha kan ook. Er worden dan twee (iets minder fraaie) grafieken weergegeven met als kruispunt de oplossing. En daarnaast acht complexe oplossingen.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2+%2B+b%5E3+%3D+7148+and+b%5E2+%2B+a%5E3+%3D+5274

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Geef jouw antwoord

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

/
Geef Antwoord
+
Selected image

Het beste antwoord

Het hangt er maar vanaf wat de precieze bedoeling is.

Ik kwam er zo in eerste instantie niet uit, gooide het stelsel in maple (computeralgebrasysteem) en kreeg er een negental impliciete oplossingen met complexe getallen uit. Dat is ook geen wonder want als je de ene vergelijking in de andere substitueert en vereenvoudigt door tot de juiste machten te verheffen, krijg je uiteindelijk een negendegraadsvergelijking : iets als

(5274- a^3 ) ^3 = (7148 - a ^2 ) ^2

Er zit echter één simpele en expliciete oplossing bij, en die luidt : a= 17, b= 19.

Als het de bedoeling is dat je deze oplossing eruit krijgt, moet je dus aanvullende eisen stellen. Vaak zijn dat eisen als : het moet een uitkomst in gehele, natuurlijke getallen zijn.

Ik ging googlen en vond deze uitwerking op http://www.wiskundeforum.nl/viewtopic.php?f=38&t=7723

(een korte toelichting door mij herschreven maar voor de rest gewoon geplakt). Ik zeg er eerlijkheidshalve meteen bij dat ik niet denk dat ik hier zelf op zou zijn gekomen.

Er is gegeven:

a^2+b^3=7148
a^3+b^2=5274
dus (trek deze twee vergelijkingen van elkaar af):
a^2 - a^3 + b^3 - b^2 = 7148 - 5274 = 1874

Stel nu b = a+c:
a^2 - a^3 + (a+c)^3 - (a+c)^2 = 1874
werk de machten uit:
a^2 - a^3 + a^3 + 3a^2c + 3ac^2 + c^3 - a^2 - 2ac - c^2 = 1874
tegengestelde termen vallen tegen elkaar weg:
3a^2c + 3ac^2 + c^3 - 2ac - c^2 = 1874
dus c is een deler van 1874 = 2 * 937 (we gaan dus blijkbaar van geheeltalligheid van de oplossing uit)

Nu is c = b-a. Maar als we naar de oorspronkelijke vergelijkingen kijken zien we dat
zowel a^3 + b^2 als a^2 +b ^3 even getallen opleveren. Dit kan alleen maar als OFWEL a EN b beide even zijn, ofwel a EN b beide oneven zijn. Maar in beide gevallen is c= b-a even. Dus moet c hier 2 zijn—als we er vanuit gaan dat de oplossing geheeltallig moet zijn.

Hierdoor reduceert
3a^2c + 3ac^2 + c^3 - 2ac - c^2 = 1874
tot
6a^2 + 12a + 8 - 4a - 4 - 1874 = 0
ofwel
6a^2 + 8a - 1870 = 0
ofwel
3a^2 + 4a - 935 = 0
ofwel
(a-17)(3a+55) = 0
waardoor (a is geheel):
a=17
en dus
b = a+c = 17+2 = 19
(Lees meer...)
kierkegaard47
10 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Bedankt!
WimNobel
10 jaar geleden
Ik zag deze opgave pas na de indrukwekkende oplossing van Kierkegaard. Maar ik had het antwoord veel sneller en eenvoudiger gevonden.
Bij dit soort opgaven wordt meestal verondersteld dat de oplossing uit gehele, positieve getallen moet bestaan. Zulke opgaven heten Diophantische vergelijkingen.
Welnu, aan de eerste vergelijking kun je meteen zien dat b^3 kleiner is dan 8000, dus b < 20. Probeer nu alle waarden voor b van 1 t/m 19, liefst in omgekeerde volgorde. Bij b = 19 is het meteen raak. Je vindt dan a^2 = 7148 - 19^3 = 289, dus a = 17. We hebben de tweede vergelijking dus helemaal niet nodig om deze oplossing te vinden. Wel natuurlijk nog even checken of het klopt. En eigenlijk moet je ook checken dat er niet nog andere oplossingen zijn. Maar uit ervaring weet ik dat dit soort stelsels hooguit één reële oplossing heeft (niet noodzakelijk geheel).
kierkegaard47
10 jaar geleden
WimNobel: Even terzijde; dit is niet 'mijn' oplossing maar die van de schrijvers op de site die ik aanhaalde (tenzij zij hem ook weer ergens anders vandaan gehaald hebben natuurlijk). Ik voelde me verplicht om met de vermelding te beginnen dat er ' eigenlijk' 9 oplossingen zijn, omdat er geen extra eisen bij staan in de vraagstelling zoals hier gegeven (zoals bv een eis dat de oplossing (a,b) tot de N ^2 moet behoren) -- ook al is natuurlijk het sterle vermoeden gezien het type vergelijking dat dit wel de bedoeling zal zijn. Dit lijkt me verder typisch zo'n opgave waarbij 'het antwoord' er minder toe doet dan de manier waarop je op 'het antwoord' komt, het ging immers om een 'som in een tijdschrift'. Ging het puur om het antwoord, dan was ik gestopt na het antwoord van de computer 'a=17, b=19'. Daarom denk ik dat de bedoeling, de 'sport' zogezegd, ook was om met een afleiding te komen die in essentie meer is dan 'intelligent uitproberen', waar jouw oplossing in feite op neer komt (en daar bedoel ik verder niets onvriendelijks mee Ik zou het in de praktijk ws ook zo doen, als ik gewoon de uitkomst nodig had, ik wist dat er eentje moest zijn die uit natuurlijke getallen bestond, en ik geen software bij de hand had die dat snel voor me kon oplossen. Al was het maar omdat ik niet eens denk dat ik de oplossing die ik kopieer, zelf gevonden zou hebben...)
Deel jouw antwoord

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

/
Geef Antwoord
+
Selected image