Waarom is een harmonisch veld (scalair of vector veld) onbeperkt continu differentieerbaar?

Omdat je kunt laten zien dat een harmonisch veld "uitgebreid" kan worden naar een complexe functie, en er vervolgens de veel krachtiger resultaten vanuit de complexe functie op los kunt laten Helaas heb ik hier lang niet voldoende ruimte om dit alles gedetailleerd uit te schrijven/leggen maar het globale bewijsidee is als volgt.

Eerst bewijs je dat er voor een harmonische functie u altijd een harmonische functie v bestaat, zodat de complexe functie f=u+iv holomorf (d.i. complex differentieerbaar) is.
Dit deel is nog niet zo lastig te bewijzen.

Specifiek: als je het vectorveld (-u_y, u_x) beschouwt (u_y betekent hier afgeleide van u naar y etc), dan zie je dat

d /dy (-u_y) = d /dx (u_x)

juist omdat de oorspronkelijke functie u harmonisch was. Maar dit betekent dat (-u_y, u_x) een conservatief vectorveld is (standaardstelling uit analyse), en dat je dus voor je (potentiaal)functie v kan nemen:
v_x=-u_y
v_y=u_x

vervolgens voldoet f= u +i*v aan de cauchy-riemannrelaties en is daarmee holomorf (elementair resultaat uit complexe functietheorie).

Vervolgens is er een stelling (Taylor) die zegt dat als een complexe functie f holomorf is in een punt z_0, deze functie binnen een omgeving rondom dat punt altijd geschreven kan worden als een oneindige unieke machtreeks . (in feite is dit de generalisatie van de "gewone" stelling van taylor, voor het complexe vlak). Maar zo'n oneindige machtreeks is oneindig vaak continue differentieerbaar, en dus is de functie f dat ook. Maar als f dat is, dan is zeker de componentfunctie u dat.

Dat dit in voor complexe functies wèl volgt en voor reeele niet volgt, komt doordat complexe differentieerbaarheid weliswaar oppervlakkig gezien "lijkt" op reeele differentieerbaarheid, maar in feite een veel sterkere voorwaarde is.

Om deze stelling van Taylor te BEWIJZEN heb je helaas wel nogal wat complexe functietheorie nodig. O.a. moet je bv. de integraalstelling van Cauchy kennen. Deze zegt in essentie dat als een functie holomorf is in een "disk" (bv. een epsilon-omgeving) , deze functie volledig gekarakteriseerd wordt door de waarden die deze aanneemt op de RANDEN van die omgeving en deze functie dus ook met gebruikmaking van alléén die rand voor het volledige gebied beschreven kan worden.
Een bewijs kan je bv. hier vinden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Analyticity_of_holomorphic_functions

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_integral_formula voor de integraalstelling van Cauchy.