Hoe bewijs je dat de evolvente van de evolute van een kromme opnieuw die kromme geeft?
1.7K
1.7K keer bekeken
Geef jouw antwoord
Het beste antwoord
Zo:
http://www.glk.uni-mainz.de/Dateien/geometrische.pdf , satz 2.2 op blz 40-42.
Het geschrift is wel in het duits, maar dat lijkt me in dit geval niet een onoverkomelijk bezwaar. (sowieso vond ik in het engels geen uitgeschreven bewijs en het hier zelf opschrijven is ondoenlijk gezien al het formulewerk)
Het uiteindelijke bewijs is op zich rechttoe-rechtaan. Je vult gewoon de formule van de evolvente OP de vectoren van de evolute in, die je daarna uitwerkt.
Het enige vervelende is dat je nog een aantal extra identiteiten nodig hebt.
Bijvoorbeeld worden er meerdere keren de 'vergelijkingen van Frenet' ingevuld:
T '=k N
N ' = - k T
die in lemma 1.5 (blz 15, zelfde geschrift) bewezen worden.
Verder is de 'n' die ineens in formule 2.18 opduikt, niets meer dan een korte aanduiding voor de rotatiematrix
0 -1
1 0
die op blz 13 wordt ingevoerd.
Bij 2.19 wordt gewoon de definitie van 'kurvatur' (kromming) gebruikt zoals ingevoerd op blz 13, lemma 1.3.
Verder wordt nog gebruikt dat epsilon= +/- 1 dus 1/epsilon=epsilon, en epsilon*epsilon =1.
Alles bij elkaar is het helemaal niet zo'n moeilijk bewijs qua idee (uiteindelijk is het gewoon invullen en uitwerken), maar het is technisch tamelijk vervelend allemaal, ik ben bang dat het helaas niet simpeler gemaakt kan worden. (als iemand dat wel kan, zie ik het ook graag).
http://www.glk.uni-mainz.de/Dateien/geometrische.pdf , satz 2.2 op blz 40-42.
Het geschrift is wel in het duits, maar dat lijkt me in dit geval niet een onoverkomelijk bezwaar. (sowieso vond ik in het engels geen uitgeschreven bewijs en het hier zelf opschrijven is ondoenlijk gezien al het formulewerk)
Het uiteindelijke bewijs is op zich rechttoe-rechtaan. Je vult gewoon de formule van de evolvente OP de vectoren van de evolute in, die je daarna uitwerkt.
Het enige vervelende is dat je nog een aantal extra identiteiten nodig hebt.
Bijvoorbeeld worden er meerdere keren de 'vergelijkingen van Frenet' ingevuld:
T '=k N
N ' = - k T
die in lemma 1.5 (blz 15, zelfde geschrift) bewezen worden.
Verder is de 'n' die ineens in formule 2.18 opduikt, niets meer dan een korte aanduiding voor de rotatiematrix
0 -1
1 0
die op blz 13 wordt ingevoerd.
Bij 2.19 wordt gewoon de definitie van 'kurvatur' (kromming) gebruikt zoals ingevoerd op blz 13, lemma 1.3.
Verder wordt nog gebruikt dat epsilon= +/- 1 dus 1/epsilon=epsilon, en epsilon*epsilon =1.
Alles bij elkaar is het helemaal niet zo'n moeilijk bewijs qua idee (uiteindelijk is het gewoon invullen en uitwerken), maar het is technisch tamelijk vervelend allemaal, ik ben bang dat het helaas niet simpeler gemaakt kan worden. (als iemand dat wel kan, zie ik het ook graag).
11 jaar geleden
Deel jouw antwoord