Hoe kom je aan de fourier getransformeerde van de Heaviside?

Voor omega=0 gaat het om een integraal van de vorm INT(H(x)*1, -inf..+inf), waarbij die "1" dus de basisfunctie is (cos(0*t)=1). De Heaviside is nul voor negatieve waarden, dus die integraal is gelijk aan INT(1, 0..+inf) = INT(1, -inf..+inf)/2, en die laatste is de Fourier-getransformeerd van de eenheidsfunctie f(x)=1. Dus je krijgt precies de helft van diens Fourier-getransformeerde, en dat is een delta-functie.
(Op de precieze constanten/coefficienten heb ik me niet toegespitst; die hangen enigszins af van hoe je de Fourier-transformatie definieert.)

Toegevoegd na 2 minuten:
Overigens is de delta functie niet echt een functie natuurlijk, maar een distributie. Die heeft dus niet echt een "waarde" voor omega=0. Maar hij divergeert op dezelfde manier in de limiet.