Wat is er speciaal aan een fourierreeks met enkel sinustermen met oneven index?

Ik weet niet zeker of ik je vraag helemaal goed snap.

Je zegt dat je ‘de cosinustermen eruit gooit’ en dat je daarom ‘de functie oneven uitbreidt’. Het klopt natuurlijk dat een oneven functie alléén met sinustermen benaderd zou kunnen worden en daarom krijg ik hieruit de indruk dat je bedoelt: aan wat voor karakteristieken zou een functie moeten voldoen die je kunt benaderen met een fourierreeks met uitsluitend termen van de vorm sin((2n+1)*Pi/2 *x ) ? "

De karakteristiek dat de functie ONEVEN moet zijn heb je zelf al genoemd, maar er moet natuurlijk meer gelden.

In het vervolg zal ik termen van de vorm sin((2n+1)*Pi/2 *x ) kortheidshalve "o.r. termen" noemen (oneven rangnummer sinustermen), en sinustermen van de vorm sin( 2n* Pi*x/2 )=sin(nPi*x) "e.r. termen" (even rangnummer sinustermen).

Laten we eens kijken hoe o.r. termen zich gedragen op [0..2].

Het eerste dat opvalt is dat ze allemaal 0 zijn voor x=0 en voor x=2 (voor x =2 krijg je immers sin(pi), sin(3pi), sin(5p), .. Maar dit is ook het geval voor de e.r. termen (sin(0), sin(2pi), ...=0 ) .

Het tweede dat opvalt is dat de AFGELEIDE in x=0 voor alle o.r. termen in x=0 en in x=2 elkaars tegengestelde zijn. En dit is WEL anders dan bij de e.r. termen, want daar vind je juist dat de afgeleide in x=0 en x=2 hetzelfde zijn.

Dit brengt ons op het volgende idee: wat gebeurt er ‘rondom’ x=1 ? Voor o.r. termen krijgen we hier dus de sinusfuncties rondom pi/2, 3*pi/2, 5*pi/2 .. afwisselend maxima en minima, maar voor alle o.r. termen geldt dat ze "spiegelsymmetrisch tov de verticale lijn x=1" zijn, ofwel "even vanuit x=1 gezien", om het zo maar eens te noemen (dit is géén standaard wiskundig taalgebruik overigens). Voor e.r. sinustermen geldt dat we sinusfuncties rondom Pi, 2*Pi, 3*Pi ... krijgen, waar ze allemaal 0 zijn, maar het zijn ook allemaal ONEVEN functies tov de verticale lijn x=1.

Kortom: Alle o.r.termen zijn EVEN, vanuit x=1 gezien, terwijl alle e.r. termen juist ONEVEN zijn vanuit x=1 gezien (lekker verwarrend he:) )

Iedere functie die je zou willen benaderen met uitsluitend o.r. termen zou dus moeten voldoen aan:

- ONEVEN vanuit x=0 gezien : f(x)= -f(x), en f(0)=f(2)=0.
- EVEN vanuit x=1 gezien : f(1+x) = f(1-x) , en dus ook f’ (1+x)=-f’(1-x) en i.h.b f’ (0)=-f’(2).

Dit klinkt misschien ingewikkeld, maar een simpel plotje van dergelijke functies kan dit meteen duidelijk maken (mocht ik duidelijke afbeeldingen vinden dan voeg ik ze nog wel toe).