Hoe kan je de oppervlakte van een zeshoek met 7 ingeschreven cirkels berekenen?

1) Bepaal eerst waar de raakpunten van een cirkel en een hoek precies zitten.
2) Heb je die dan kan je de afstand van een cirkel naar de bijbehorende hoek bepalen.
3) Daarmee kan je de lengte van een hoek naar het centrum bepalen
4) Daarmee kan de de oppervlakte van een van de 6 gelijkzijdige driehoeken die je in het figuur kan tekenen bepalen
5) En dan de oppervlakte van de 6 gelijkzijdige driehoeken bepalen

Misschien kan het simpeler, maar met dit stappenplan zou het moeten lukken

Trek vanuit het midden van één van de randcirkels een lijn naar het meest nabije hoekpunt van de zeshoek, en een lijn naar het raakpunt met de zijde. De eerste lijn deelt de hoek van 120° middendoor en de tweede maakt een hoek van 90° met de zijde van de zeshoek. We hebben nu een rechthoekige driehoek met hoeken 30-60-90 en langste rechthoekszijde 3 (want dat is de straal van de cirkel). De schuine zijde is dus 2√3. Dit is de afstand van middelpunt randcirkel tot hoek. Daar tellen we tweemaal de straal van de cirkels bij, dan hebben we de afstand van de hoek tot het midden van de middencirkel ofwel het middelpunt van de zeshoek. Dit is ook de zijde van een gelijkzijdige driehoek bestaande uit een zijkant en twee halve diagonalen. De oppervlakte van zo'n gelijkzijdige driehoek is 1/4 √3 maal de zijde in het kwadraat. De oppervlakte van de zeshoek is zes zulke driehoeken, dus 3/2 * √3 * a² = 3/2 * √3 * (6 + 2√3)².
Verder uitwerken: 3/2 * √3 * (36 + 24√3 + 12) = 108 + 72√3 ≈ 232,7.
Ff checken of ik me niet vergist heb: de oppervlakte van de 7 cirkels moet ietsje minder zijn. 7 * π * 3² = 63π ≈ 197,9. Dat lijkt me wel plausibel.

Het figuur heb ik onderin in een plaatje gezet met een paar hulplijnen erbij. Van de binnenste zeshoek kun je het oppervlak bepalen, deze is 6*(oppervlak gelijkbenige driehoek)=6*(3*wortel(3^2+6^2))=18*wortel(25)=90.


Dan is het volgende probleem de 6 trapezia die je overhoudt. Een zo'n trapezium heb ik vergroot toegevoegd. De trapezium is te verdelen in een rechthoek en twee dezelfde driehoeken. De oppervlak van de rechthoek is 3*6=18.

De oppervlak van de driehoeken kun je bepalen omdat je de lengte van 1 zijde hebt en de grootte van een hoek (namelijk 60 graden). Deze 60 graden weet je omdat deze hoek onderdeel is van een gelijkbenige driehoek.
Het oppervlak van de twee driehoeken bij elkaar is dus:
2*((1/2)*3*3/tan(60))=9/wortel(3)=3*wortel(3).

Dit optellen en met 6 vermenigvuldigen omdat je 6 trapezia hebt geeft: 6(18+3wortel(3))=108+18wortel(3).


De oppervlakte van de kleine zeshoek + de oppervlakte van de 6 trapezia geeft:
90+108+18wortel(3)=198+18wortel(3).

Toegevoegd na 1 uur:
Er zit een rekenfout in m'n antwoord. De oppervlak van de binnenste zeshoek is 6 maal de oppervlakte van de gelijkbenige driehoek:
6*(3*wortel(6^2-3^2))=18wortel(27)=54wortel(3).

De totale oppervlakte wordt dus: 54wortel(3)+108+18wortel(3)=108+72wortel(3)

Excuses hiervoor

Verbind de tegenover elkaar liggende punten van de zeshoek met elkaar. Deze lijnen snijden elkaar precies in het middelpunt van de middelste cirkel. Je hebt nu zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 1,5 x 3.
Nu is het de oppervlakte van één driehoek berekenen en dit vermenigvuldigen met zes.

Toegevoegd na 3 minuten:
Als je nu de oppervlakte van één cirkel berekent en dit vermenigvuldigt met zeven, en je trekt deze uitkomst van de totale oppervlakte af, dan houd je de resterende oppervlakte van de zeshoek zonder cirkels over.

Toegevoegd na 4 minuten:
Correctie, de straal was drie, dus de zijden van de driehoeken zijn
1,5 x 6.