Hoe kan je formules van krommen in poolcoördinaten naar cartesiaanse omzetten?

Ik zal de cardoïde voor je voordoen, om een idee te geven hoe zoiets gaat. De andere twee zijn leuk als oefening.

We beginnen dus met de poolcoördinaat-formule voor de cardoïde. Volgens http://nl.wikipedia.org/wiki/Cardio%C3%AFde is deze:

r(theta)= 2a(1-cos(theta) ) .

Zoals reddie al zei, vul je nu in r = wortel(x^2+y^2) en theta=arctan(y/x).

Dus je krijgt:

wortel(x^2+y^2)= 2a(1-cos(arctan(y/x) ) ) (*)

Hier zit eerst een klein moeilijkheidje in. Namelijk, wat is cos(arctan(y/x) ) ?

Teken een rechthoekige driehoek met als, hoogte y en breedte x. De lengte van de schuine zijde is (pythagoras) wortel(x^2 + y^2) Roep in herinnering dat tan=overstaand/aanliggend, en cos= aanliggend/schuin. Laat A die hoek van de driehoek zijn waarvoor arctan(y/x)=A . Dan is cos(A) dus aanliggend/schuin, ofwel x/wortel(x^2 + y^2).

Kortom,

cos(arctan(y/x) ) =x/wortel(x^2 + y^2)

Terug naar de oorspronkelijke vergelijking. We waren gebleven bij (*)

wortel(x^2+y^2)= 2a(1-cos(arctan(y/x) ) ) (*) =>
wortel(x^2+y^2)= 2a(1-x/wortel(x^2 + y^2) ) =>
Vereenvoudigen: vermenigvuldig beide zijden met wortel(x^2+y^2 ), levert:
x^2+y^2 = 2a(wortel(x^2+y^2) -x ) =>
x^2+y^2 +2a = 2a(wortel(x^2+y^2) => kwadrateren
(x^2+y^2 +2a)^2=4a^2(x^2+y^2)

en we hebben de vergelijking in carthesische coördinaten zoals die ook op de eerder genoemde pagina in wikipedia staat.

Toegevoegd na 8 minuten:
Ik zie bij even teruglezen dat ik de hoek van de driehoek 'A' heb genoemd terwijl er al een a in de vergelijking zat, kan verwarrend zijn dus Gelieve dus 'B' te lezen ofzo :)

Toegevoegd na 24 minuten:
.. en ik zie dat in de laatste 2 stappen de 'x' bij de a- term is weggevallen, moet dus zijn:

x^2+y^2 +2ax = 2a(wortel(x^2+y^2) => kwadrateren
(x^2+y^2 +2ax)^2=4a^2(x^2+y^2)