Back to frontpage
Hét vraag- en antwoordplatform van Nederland

Hoe heet de verzameling getallen die ontstaat door optellen/aftrekken, vermenigvuldigen/delen, en worteltrekken toe te passen op gehele getallen?

Optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen alleen levert de rationale getallen, die een deelverzameling vormen van de bedoelde set (want bevat geen wortels). Alle oplossingen van polynomen met gehele coefficienten leveren de algebraische getallen, die een superset vormen (want bevat ook oplossingen van vijfde-graads vergelijkingen). Heeft de bedoelde getalverzameling ook een naam? Of, wat als je n-de machts wortels toestaat?

Toegevoegd na 1 minuut:
Geneste operaties mogen ook, dus sqrt(1+sqrt(2)) behoort ook tot de bedoelde verzameling.

Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
in: Wiskunde
1.7K
Poet
11 jaar geleden
Ik pas
kierkegaard47
11 jaar geleden
Ik zou zeggen dat het nog steeds de set van algebraïsche getallen is eigenlijk. Het feit dat vergelijkingen van graad of 5 hoger geen generieke oplosmethode kennen, betekent namelijk niet dat je de oplossingen niet in wortelvorm zou kunnen schrijven, dacht ik. Alleen het vinden ervan is een probleem. Of zou je anders een voorbeeld willen geven van een getal dat wel algebraïsch is maar niet bij de set hoort die jij bedoelt ?
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
@Kierkegaard: Die 5e-graadsvergelijking oplossingen kunnen ook niet. Vraag het me niet te bewijzen, maar "Ruffini (1799) and Abel (1826) showed that the solution of the general quintic cannot be written as a finite formula involving only the four arithmetic operations and the extraction of roots." [http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html] De ene reele oplossing van x^5-x+1=0 is zo'n voorbeeld.
kierkegaard47
11 jaar geleden
Inderdaad, daar vergiste ik me. Ik had het zo niet nagekeken, kende het algemene resultaat in grote lijnen maar niet precies en dacht dat het inhield dat de ALGEMENE oplossing van zo'n vergelijking niet in zulke termen gegeven kon worden, terwijl er staat dat bepaalde specifieke oplossingen zelfs helemaal niet in zulke termen uitgedrukt kunnen worden. Dat is een nog wat sterker 'negatief' resultaat dan ik dacht, dus.

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Geef jouw antwoord

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

/
Geef Antwoord
+
Selected image

Antwoorden (2)

Dat zijn de complexe getallen (C).
In de reële getallen (R) mag je ook worteltrekken, maar niet van negatieve getallen. Je hebt in je vraag niet gespecialiseerd op worteltrekken van positieve getallen, dus in jouw ruimte kun je ook een negatief getal in de wortel stoppen. Dit wordt dus C.

Ook sqrt(1+sqrt(2)) is een element van C, want 1+sqrt(2) zit in C, dus daar weer de wortel van ook.
Maar ook sqrt(3+4i) zit in C. Want er geldt:
sqrt(3+4i)=a+bi
3+4i = (a+bi)^2
3+4i = a^2+2abi-b^2
=> 3 = a^2 -b^2
4 = 2ab => b=2/a
Vul de 2e vergelijking in in de 1e gevonden vergelijking:
3 = a^2 - 4/(a^2)
3a^2 = a^4 - 4
a^4 - 3a^2 - 4 = 0
(a^2-4)(a^2+1)=0
a is een reëel getal, dus a^2>0. Dus a^2=4 => a=2 of a=-2.
Dus geldt: (a=2 en b=1) of (a=-2 en d=-1)

Dit kan ook met n de machts wortels, alleen is 't rekenwerk dan niet meer zo leuk...

Dus de ruimte is C, want daar blijven alle elementen uit C bij elke bewerking in C.
(Lees meer...)
Bronnen:
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Hmm, niet aan de imaginaire component gedacht moet ik toegeven, maar het is niet de hele verzameling der complexe getallen C die ik bedoel. Want daarin zitten ook bijvoorbeeld pi, of de oplossing van 5e-graadsvergelijkingen, en die zijn niet te construeren met +,-,*,/, en sqrt alleen.
Het dichtst bij komt een veld als Q(sqrt(2)) dat alle getallen bevat van de vorm a/b+c/d*sqrt(2) (met a,b,c,d geheel), waarvan ik overigens ook niet weet hoe je het noemt. Maar dan zouden wortels van alle gehele getallen moeten mogen, en ook geneste wortels.
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Het moeilijke zit hem erin dat je alleen de vierkantswortel toestaat en niet machtsverheffen in het algemeen. Dus in principe sta je alleen alle (2n)de machts wortels toe met n in de natuurlijke getallen. Dus dat wordt gatenkaas in de verzameling.
Ik denk dat er niet een speciale naam voor is voor deze verzameling, vooral ook omdat kwadrateren en worteltrekken meestal samen wordt toegevoegd als operaties die moeten kunnen en dat hier niet het geval is.
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Okee, zou misschien kunnen (hoewel sqrt(x+sqrt(y)) niet per se zelf een 4e-machtwortel hoeft te zijn geloof ik, en kwadrateren en worteltrekken kunnen wel beide, en Q is zelf ook een gatenkaas, maar goed).
Laat ik dan generaliseren tot willekeurige rationale exponenten als je dat nodig hebt (d.w.z. gebaseerd op de inverse van "een geheel aantal keren met zichzelf vermenigvuldigen"). Dus (a/b)^(c/d) mag dan, voor gehele a,b,c,d, zonodig genest, maar niet élke (transcendente) macht.
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Klopt Q is ook gatenkaas. Het is ook geen beperking een naam geven aan een verzameling of het gatenkaas is of niet. Ik denk dat er niet een speciale naam is voor de verzameling die je bedoelt.
kierkegaard47
11 jaar geleden
"Het dichtst bij komt een veld als Q(sqrt(2)) dat alle getallen bevat van de vorm a/b+c/d*sqrt(2) (met a,b,c,d geheel), waarvan ik overigens ook niet weet hoe je het noemt. " "Algebraisch getallenlichaam". (engels: algebraic field extension). Specifieker ook wel over 'quadratic field' als het over een vierkantswortel gaat. " Maar dan zouden wortels van alle gehele getallen moeten mogen, en ook geneste wortels." En dan wordt het kiezen tussen twee kwaden, Beschouw bv. het element 'x= sqrt(2)+sqrt(3)'. Die kan immers niet als 'standaardelement' geschreven worden, terwijl sqrt(2) en sqrt (3) beide elementen zijn en + ook op je verzameling gedefinieerd is. Wat doe je daarmee ? 1. Niet toelaten tot je verzameling. Dan heb je dus niet langer een verzameling die gesloten is onder je standaardbewerkingen, zodat het geen groep, ring, of lichaam kan zijn. Hoogstwaarschijnlijk maakt dit het veel moeilijker om deze verzameling wiskundig te analyseren. (Niet onmogelijk per se: N is ook niet gesloten onder bv. aftrekken ) 2. Wél toelaten. Dan is het dus niet langer mogelijk om al je elementen in een 'kanonieke vorm' uit te drukken (immers dan moet je ook y = 'som van de wortels van de eerste miljard priemgetallen' toelaten', terwijl dit hoogstws. niet in MINDER dan een miljard termen uitgedrukt kan worden. )(vergelijk dit met Q waarin ieder willekeurig element als enkelvoudige breuk a/b uitgedrukt kan worden, of Q(sqrt2) waar dat met a/b + c/d *sqrt(2) kan.
kierkegaard47
11 jaar geleden
ok, mijn eerste argument klopt niet helemaal, ik bedacht me net dat sqrt(a) + sqrt(b) =sqrt (a+b+2 * sqrt(ab)), (a,b integer) zodat sommen van TWEE wortels inderdaad wèl in de vorm sqrt(x + sqrt(y)) (x, y integer) geschreven kan worden. Toch lijkt me dat daarmee het probleem niet helemaal is opgelost, immers sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) =sqrt ( a+b+c+ 2* ( sqrt(ab) + sqrt(bc) +sqrt(ac) ) (a.b.c integer) Wat waarschijnlijk toch weer niet simpeler geschreven kan worden, in ieder geval niet in de vorm sqrt(x + sqrt(y)) (x, y integer) en dus geen element van de verzameling is bij één niveau van nesting van wortels. Of sta je willekeurige niveau's van nesting toe ? (Dan zou het weer wèl kunnen, maar in dat geval gaat weer het probleem meespelen dat er wellicht geen simpele algemene vorm van alle elementen mogelijk is).
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Geniaal van die wortels optellen! Dat wist ik helemaal niet :-)
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Kwestie van kwadrateren, omschrijven en weer worteltrekken lijkt me, nu ik er zo naar kijk.
Wat is wiskunde toch leuk!
kierkegaard47
11 jaar geleden
nee ik kende hem ook niet (of allang vergeten) , maar wilde de uitdrukking sqrt(a) + sqrt(b) om zien te schrijven in zo'n geneste wortelvorm en bedacht me dat ik dat wel eens met een merkwaardig product zou kunnen proberen, vandaar...
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Ik wilde p/q*sqrt(a)+r/s*sqrt(b) wel toestaan. Overigens zitten al dat soort combinaties in het Algebraisch getallenlichaam Q(sqrt(a)+sqrt(b)), zo blijkt:
- Natuurlijk zit m=sqrt(a)+sqrt(b) er in.
- Ook zit n=(a-b)/(sqrt(a)+sqrt(b)) er in.
- De laaste vereenvoudigt tot n=sqrt(a)-sqrt(b).
- Dus zitten sqrt(a)=(m+n)/2 en sqrt(b)=(m-n)/2 er zelf ook in. Ik heb inmiddels deze video gevonden:
http://www.youtube.com/watch?v=CMP9a2J4Bqw
waarin de door mij genoemde verzameling de "construeerbare getallen" worden genoemd. Dat blijkt inderdaad de naam te zijn; zie ook http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number (de NLse wiki noemt 'm niet).
In diezelfde video wordt overigens beweerd dat je, als je n-de machts wortels toestaat, de algebraische getallen krijgt. Dat lijkt me dan een foutje (gezien Ruffini (1799) en Abel (1826) hierboven). Ik denk dat ik m'n vraag dus maar als beantwoord beschouw. Merci!
De getallen die je noemt behoren tot de Reële getallen.
Voeg je daar de Imaginaire getallen bij, dan krijg je de Complexe getallen.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Pi zit wel in de complexe getallen, maar is niet te maken met +, -, *, /, en sqrt. Dus de complexe getallen is het niet helemaal, want té uitgebreid.
Deel jouw antwoord

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

/
Geef Antwoord
+
Selected image