Hoe bereken je de discrete tijd fourier transformatie van de Heaviside functie?

Ik maak gebruik van links, omdat deze formules niet uit te schrijven zijn in Goeievraag en ik anders helemaal geen zinvol antwoord kon geven.


Ik maak gebruik van een aantal bronnen.

Bron A: http://maxim.ece.illinois.edu/teaching/fall08/lec10.pdf
Bron B: http://www.cmlab.csie.ntu.edu.tw/DSPCourse/slide/Lecture3.pdf
Bron C: http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform (in de tabel staat ook het antwoord bij u[n])

Het bewijs verloopt in een aantal stappen: Het helpt om een goede kennis van distributies te hebben, zie bv. http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function/

1. Definitie van de Discrete Tijd Fourier Transformatie (DTFT). Te vinden in o.a.Bron C

2. Lineariteit van de DTFT. Volgt meteen door def. uit te schrijven. Zie bv. Bron A, sheet 10.

3. DTFT delta-dirac distributie delta(n) = 1 . Volgt ook uit uitschrijven (en de gedachte dat je de sommatie van eenheidsstapfuncties 'stiekum' als integralen kunt beschouwen, een distributie heeft nou net precies de eigenschap dat haar integraal 1 is). Zie bijvoorbeeld Bron B, sheet 6.

4. Time and Frequency shifting Property van DTFT. Volgen ook al onmiddellijk uit de definitie. Zie bv. Bron B, sheet 4 en 5.

5. Validiteit van de inverse. Zie bron A, sheet 9. Hierbij wordt gebruikt dat voor n ongelijk m geldt dat e^_(-j *(n-m)omega) = j sin (n-m( omega)) , en dus 0 als je de integraal over [0..2pi] neemt, en voor n=m dat je e^0=1 krijgt, en dus de uitkomst van 1/2Pi * de integraal =1. Zie verder weer opm. bij punt 3.

6. DTFT van x(n)=1, alle n. Bouwt voort op 5. Dit wordt nl. gedaan door de inverse transformatie toe te passen op het resultaat (sommatie van termen delta(n-k) gesommeerd over k van - tot + oneindig), en aan te tonen dat daar 1 uit komt. Zie Bron B , sheet 7 en 8.

7. En uiteindelijk, het berekenen van de DTFT van de Heaviside. Zie wederom Bron B , sheet 10 en 11.

Beschouw de Heavisidefunctie u(n) als de som van 2 functies u_1 + u_2, waarbij u_1= (1/2), en u_2=u(n)-1/2.

De DTFT van u_1 volgt uit de DTFT van 1 (punt 6) gecombineerd met de lineariteit van de transformatie (punt 2). De DTFT van u_2 volgt uit een trucje, namelijk het herschrijven van de delta(n) in termen van u_2. De DTFT van de delta-functie is bekend (punt 3) en gecombineerd met de lineariteit (punt 2) en de time-shifting property (punt 4) volgt hieruit de DTFT van u_2.

Het eindresultaat volgt dan uit het toepassen van de lineariteit van de DTFT (punt 2) op u= u_1 + u_2.