Wat is de juiste betekenis van oppervlakte in een n-dimensionale ruimte?

'Oppervlakte' zonder meer is een 2-d begrip, maar er bestaan generalisaties van.
Omdat ik niet steeds weet of overal Nederlandse vertalingen van bestaan zal ik soms Engelse termen hanteren, eventueel gevolgd door de Nederlandse vertaling tussen haakjes.

Je hebt bv het begrip 'hyperplane' ('hypervlak'), dit is een 'plat vlak' van dimensie 'n-1' dat een ruimte van dimensie n "in tweeën deelt". Voorbeelden hiervan: (n=2) : een plat vlak (2D) in de R^3 die deze in tweeën deelt, of (n=1) een lijn (1D) die de R^2 in tweeën deelt.

Als generalisatie van 'hyperplane' bestaat er nog 'hypersurface' (kortheidshalve vaak toch weer 'surface' genoemd), dit is eigenlijk hetzelfde idee als hierboven, maar dan voor een ruimte die niet meer 'vlak' is. Dit wordt als volgt gedefinieerd.

Eerst wordt het begrip 'manifold' (Ned: variëteit) ingevoerd, dit is (ik citeer wikipedia) " een topologische ruimte die op voldoende kleine schaal (lokaal) op de euclidische ruimte van een specifieke dimensie lijkt. "

Bv. een bolOPPERVLAK in de R^3 is een 2D manifold in de R^3, want je kunt ieder 'deel' van de bol lokaal 1 op 1 op de R^2 afbeelden. Niet de hele bol ineens -dan krijg je dat meer punten van de bol op hetzelfde punt in het platte vlak komen-, maar wel in 'stukjes' (bv. in twee losse Mercator projecties, eerst van de ene helft van de bol op een plat vlak, dan van de andere helft) (In de wiskunde wordt dan ook echt over 'kaarten' en 'atlassen' gesproken!). Het gaat er hier vooral om dat er voor ieder punt LOKAAL een unieke 1-op-1 afbeelding te maken is op een plat vlak: dat het niet voor de hele bol INEENS kan is wiskundig niet zo belangrijk.

De 3-d bol zelf (dus inclusief de inhoud) is een 3-dim. manifold in de R^3. Een hypersurface is nu een n-1- dim. deel-manifold van een n-dim. manifold. Bv. is volgens deze definitie het bolOPPERVLAK dus een 'hypersurface' van de bol-met-inhoud. Maar van een 4-dimensionale bol zou je op deze manier dus een 3-dimensionale 'hypersurface' krijgen, enz.

Dit klinkt allemaal wat lastig misschien -en dan laat ik de vervelender wiskundige details nog weg-, en in de praktijk is het vaak ook makkelijker te vertalen. Zie bv. http://mathworld.wolfram.com/Hypersurface.html waar wordt gesteld dat 'in een n-dimensionale ruimte, een 'hypersurface' de oplossingsverzameling van een enkele vergelijking f(x_1, ... , x_n)=0' is. Bijvoorbeeld weer de vergelijking van zo'n boloppervlak x_1^2+..x_n^2 -1=0.