Hoeveel vermogen moet ik bezitten op 65 jarige leeftijd voor mijn pensioen?

Het benodigde startkapitaal is E. 654.104 (volgens methode 1) of E. 647.760 (volgens methode 2).

Methode 1:
Ik heb het eerst met Excel uitgerekend in maandelijkse stappen:
A1 = startkapitaal
B1 = 2750
A2 = (A1-B1)*((1,04)^(1/12))
B2 = B1*((1,02)^(1/12))
Kopieer de formules in A2 en B2 t/m regel 301.
In A301 staat nu het eindkapitaal.
Vul nu net zo lang getallen in in A1 totdat A301 0 wordt.

Methode 2:
We kunnen ook proberen het probleem wiskundig te formuleren.
De toename per tijdseenheid (in jaren) is 0,04V1
De afname per tijdseenheid (in jaren) is ((1,02)^t)*33000*(t2-t1)
Ik kom dan op: V2-V1 = 0,04V1(t2-t1) - ((1,02)^t)*33000*(t2-t1)
Als differentialen: dV = (0,04V - ((1,02)^t)*33000)dt
Ik kan zo'n differentiaalvergelijking niet algebraïsch oplossen.

Maar op de site van Wolfram-Alpha lukt het wel.
De door W-A gegeven oplossing is:
V(t) = c*e^(0.04 t)+1633880 e^(0.0198026 t)
Nu moeten we de waarde van integratieconstante c bepalen.
Als randvoorwaarde weten we dat na 25 jaar het kapitaal 0 is.
V(25) = c*e^(0.04*25)+1633880 e^(0.0198026*25) = 0
c*e + 1.63388x10^6 e^(0.495065) = 0
c = -1.63388x10^6 e^(-0,504935)
c = -986119,78

V(t) = -986119,78*e^(0.04 t)+1633880 e^(0.0198026 t)
V(0) = -986119,78+1633880 = 647760,21

Gelukkig komt er iets uit in de buurt van methode 1.
Ik had niet verwacht dat het precies hetzelfde zou zijn.
Immers bij methode 1 hebben we discrete stapjes van een maand genomen.
Bij methode 2 hebben we door de differentialen een continue functie uiterekend.
In de praktijk zal het een mengsel hiervan zijn: de bank rekent de rente continu uit maar de salarisbetaling gaat in stapjes per maand.

NB. Uiteraard is de werkelijkheid nog ingewikkelder. We hebben nog geen rekening gehouden met inflatie, rentewijzigingen, belastingen, inbouwen AOW, etc.