Hét vraag- en antwoordplatform van Nederland

Mogen we rekenen met differentiaaloperatoren alsof het gewone getallen zijn?

Een klein illustratief voorbeeldje:
stel we willen de laplaciaan van (a+b) met a en b afhankelijk van x en y berekenen. Dan krijgen we (Dx^2+Dy^2)(a+b). De oplossing hiervan is de laplaciaan van a + de laplaciaan van b want de laplaciaan is een lineare differentiaaloperator. Dat doet dus vermoeden dat we doen alsof we de differentiaaloperatoren even bekijken als getallen en het product distributief uitwerken. Ik doe het ook altijd op deze manier maar er is mij nooit ergens verteld of dat wel mag.

Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
in: Wiskunde
1.5K
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Ik heb mijn twijfels bij je voorbeeld (Dx^2+Dy^2)(a+b)
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
welke zijn die twijfels dan? (Dx^2+Dy^2) stel gewoon de laplaciaan voor maar ik weet niet hoe ik een driehoekje op het scherm moet krijgen.

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Het beste antwoord

Sorry, lang antwoord in meerdere delen:

Het is verstandig bij dergelijke 'verkorte' notaties om niet uit het oog te verliezen wat je nu eigenlijk zit te doen, en desnoods even dingen weer helemaal uit te schrijven.

Bij een Laplaciaan gaat het om het toepassen van een differentiaaloperator-- ik neem aan dat je met D^2x (a+b) de 2e partiële afgeleide van (a+b) naar x bedoelt. Een differentiaaloperator is uiteindelijk een _symbolische_ en verkorte weergave van een samengestelde bewerking bestaande uit een aantal differentialen (totale of partiële). En een differentiaal is uiteindelijk niets meer dan een limiet, wat wel eens uit het oog verloren wordt door de verkorte schrijfwijze.

De algemene regel die ik daarom zou willen geven is:

-- Blijven de manipulaties BUITEN de differentialen (laten de differentialen zelf intact), dan kan je ze ongeveer zo behandelen alsof het variabelen zijn.
-- komen de manipulaties ook BINNEN de differentialen (dus waarop de diffentiaal zelf operereert), dan gaan de bijzondere eigenschappen ervan meespelen. Grofweg komen die neer op de eigenschappen zoals je die al hebt leren kennen in de meer elementaire differentiaalrekening:
d(a+b)=da+db,
d(cx) voor c een constante = c dx,
d(f(x))= f'(x) dx (kettingregel) voor f een functie van x. Deze moet je regelmatig gebruiken, bv. als je een coordinatentransformatie toepast.
d (fg) = f'dg + g'df (productregel) als f en g beide functies van x zijn.
-enz.

Bij de laatste 2 bedoel ik met f' g' in het geval van een 'gewone' differentiaal d de 'volledige' afgeleide, en in het geval van een 'partiele' differentiaal d de partiele afgeleide naar de variabele waarnaar d een differentiaal is (ik kan het uitschrijven maar je snapt hopelijk wel wat ik bedoel).

Dus bijvoorbeeld met

( D^2 / D^2x + D^2 / D^2y ) (a + b) = D^2 / D^2x (a) + D^2 / D^2x (b) + (D^2 / D^2y) (a) + (D^2 / D^2y) (b)

is niets mis, omdat je BUITEN de differentialen blijft, als het ware. Als je dit uitschrijft, zie je ook dat het in beide gevallen op hetzelfde neerkomt.

Maar iets als 'dx'= x* d , of D^2 / D^2x = 1/x 'want we kunnen de d^2 wegstrepen' zou onzin zijn, zoals in een ander antwoord al aangegeven wordt. Dit omdat dx niet d* x betekent, maar een verkorte schrijfwijze is van een limiet (in feite is d zonder argument betekenisloos).

(wordt vervolgd in reactie).
(Lees meer...)
kierkegaard47
11 jaar geleden
kierkegaard47
11 jaar geleden
(vervolg) De reden dat je differentiaaloperatoren vaak tòch zonder 'onmiddellijk' argument ziet, is simpelweg omdat het veel sneller schrijft en er toch geen misverstand ontstaat. Eigenlijk zou je niet D^2 / D^2x + D^2 / D^2y ) (a + b) moeten schrijven, maar D^2 (a(x,y)+ b(x,y) ) / D^2x + D^2 (a(x,y)+ b(x,y) )/ D^2y ) Maar wiskundigen zijn nu eenmaal liever lui dan moe :) Net zoals ze de notatie dy/dx hebben uitgevonden, terwijl daar 'eigenlijk' steeds limieten zouden moeten staan. Er is overigens nog een andere reden om het zo te schrijven. Er bestaan abstractere takken van de wiskunde waarbij de bewerking D^2 / D^2x + D^2 / D^2y zelf weer als element gezien wordt in een ruimte van een bepaalde klasse van operatoren (ieder punt in die ruimte is dan zo'n operator). Dan bestudeer je de structuureigenschappen van dergelijke operatoren op een hoger abstractieniveau en heb je dus niets meer te maken met het argument (a,b) waaròp je operator werkt. Dan is het prettig om het zo 'ontkoppeld' te schrijven. Maar goed, dat valt verder buiten het bestek van het antwoord op je vraag. Mijn excuses voor de lengte van het antwoord en ik hoop dat je er wat aan hebt :)
kierkegaard47
11 jaar geleden
Misschien nog een wat eenvoudiger voorbeeld ter toelichting (ééndimensionaal). Stel je voor dat je de differentiaalvergelijking dy/dx=y (y functie van x) probeert op te lossen naar y. Deze kan je (informeel, een paar stappen zijn eigenlijk niet helemaal 'netjes' vanuit wiskundig oogpunt) oplossen met behulp van scheiding van variabelen. Dat gaat dan ongeveer als volgt: dy/dx= y (uitgangspunt) 1/y dy = dx (scheiding van variabelen) (*) d(ln (y)) = dx ( kettingregel omgekeerd toepassen) (**) int (d (ln(y)) = int dx (Integraalteken voor beide zijden rammen:) ln (y) =x + C (Primitiveren: C is integratieconstante). ofwel y = k* e^x (waarbij k = e^C). (e^ voor beide kanten gooien en uitwerken) Dit is niets bijzonders, standaard VWO stof (in mijn tijd dan). Het gaat me niet om de oplossing zelf natuurlijk maar wel om het feit dat je hier met de differentiaaloperatoren dy en dx als variabelen 'rekent' in stap (* ) : je vermenigvuldigt bv in beide zijden van de vergelijking met dx . Dat mag omdat dy en dx hier limieten zijn waarBINNEN je niet rommelt. Maar je ziet ook dat in stap (** ) we 'binnen' de differentiaal gaan rommelen en dat het dan anders gaat werken . ( we gebruiken dat d(ln(y)) = 1/y dy , wat feitelijk de kettingregel is.

Andere antwoorden (1)

In elk geval niet als gewone getallen.
Je mag bijvoorbeeld Dx niet vervangen door xD
D blijft een operator die werkt op wat er achter staat.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Zijn er dan bepaalde regels voor het rekenen met differentiaaloperatoren of is de intuïtie al voldoende?
Verwijderde gebruiker
11 jaar geleden
Een differentiaaloperator moet je eigenlik beschouwen als een functie. Met een van de eigenschappen dat D(x+y) = D(x)+D(y)
Je mag dit niet opvatten als distributieve eigenschap.
En zo is D(x*y) zeker niet gelijk aan D(x)*D(y).
Maar eigenaardig genoeg herinner ik me ook geen (wiskundige) definities van wat precies wel en wat niet mag. Op:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Laplace-operator vind je misschien nog wat eigenschappen.
Goeie vraag.

Weet jij het beter..?

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

0 / 5000
Gekozen afbeelding