Wat houdt de afgeleide van een functie in?

De afgeleide van een functie geeft aan hoe steil een functie is.

Een paar voorbeelden helpen wellicht.

De afgeleide van de functie f(x)=x is 1. Dat betekent dat de functiewaarde met 1 stijgt wanneer x met 1 stijgt. Ofwel: als de functie een berg is, dan ga je 1 meter omhoog voor elke meter die je naar rechts loopt.

De afgeleide van de functie f(x)=5x is 5. Dat betekent dat de functiewaarde met 5 stijgt wanneer x met 1 stijgt. Ofwel: als de functie een berg is, dan ga je 5 meter omhoog voor elke meter die je naar rechts loopt.

De afgeleide van de functie f(x)=-2x is -2. Dat betekent dat de functiewaarde met 2 daalt wanneer x met 1 stijgt. Ofwel: als de functie een berg is, dan ga je met 2 meter omlaag voor elke meter die je naar rechts loopt.

De afgeleide van de functie f(x)=200 is 0. Dat betekent dat de functiewaarde gelijk blijft, ook wanneer x verandert. Deze functie is dus geen berg maar een hoogvlakte. Dus als je een meter naar rechts loopt, dan blijf je op dezelfde hoogte.
 

Mogelijk is het begrijpelijker in de natuurkunde.
Zet de afgelegde weg uit tegen de tijd.
De afgeleide is dan de verandering van de afgelegde weg in de tijd.
Dat is dus de snelheid op een bepaald moment
Zo kun je ook de snelheid uitzetten tegen de tijd.
De afgeleide is dan de verandering van de snelheid in de tijd.
Dat is dus de versnelling op een bepaald moment.
Laat je een steen vallen vanaf een toren, dan is op elk moment de afgelegde weg s,
s = 1/2 g t^2 waarbij g de valversnelling is.
De snelheid op elk moment is dan de afgeleide: v = g t
En de versnelling: a = g

De definitie luidt als volgt:
Een functie f is afleidbaar in een punt a element van het inwendige van het domein als en slechts als
lim[f(x)-f(a)]/(x-a) voor x naar a bestaat. De waarde van deze limit noemt men de afgeleide van f in a.

De definitie is handig voor het bepalen van de afgeleide in een punt maar nogal moeilijk interpreteerbaar. Concreet is de afgeleide van een functie in een punt een getal die een maat is voor de ogenblikkelijke verandering van de functiewaarden in dat punt. Een steile functie zoals f(x)=exp(x) zal dus een grotere afgeleide hebben in bv 5 dan een minder steile functie f(x)=x (want wanneer we de functiewaarden van f(x)=exp(x) bekijken in de omgeving van 5 zal er daar duidelijk meer 'verandering' op zitten dan bij de functiewaarden van f(x)=x).

Wanneer een functie afleidbaar is op een interval vb ]a,b[ kan men spreken van de afgeleide van die functie. Dit stelt dan eveneens een functie voor die voor elke x in ]a,b[ de afgeleide in x van de eerste functie geeft.

Meetkundig is de afgeleide van een functie in een punt de richtingscoëfficiënt van de rechte rakend aan de grafiek van f in het welbepaalde punt.

De afgeleide functie (f'(x)) is de hellingfunctie. Het geeft aan hoe sterk de oorspronkelijke grafiek (f(x)) daalt/stijgt.

De helling wordt gedefinieerd door dy/dx: (de verandering in de y-richting) / (de verandering in de x-richting). Bijvoorbeeld bij de functie g(x) zie plaatje. dy/dx = (g(2)-g(0))/(2-0) = (11-5)/2 = 3.

Bij g(x) is de helling overal gelijk, maar bij bijvoorbeeld h(x)=x^2 niet meer. Hierbij is de nauwkeurigheid afhankelijk van het interval die je kiest (zie plaatje). Stel je wil de helling in het punt h(0). Doormiddel van het kleine interval bereken je: dy/dx = (h(2)-h(0))/(2-0) = 4/2 = 2. En door middel van het grote interval bereken je dy/dx = (h(5)-h(0))/(5-0) = 25/5 = 5. Dit is nogal een verschil, voor de precieze helling moeten we het limiet nemen van x gaat naar 0. Dit is de afgeleide in het punt h(0).

De afgeleide functie is dus niets anders dan de hellingsfunctie. Vul een x in en je weet de helling van de oorspronkelijke functie in dat punt.