Zijn er meer bijzondere getallenreeksen als 142857?

142857 × 3 = 428571
142857 × 5 = 714285
128205 × 4 = 512820
076923 × 9 = 692307

1/7 = 0.142857 142857 142857 142857 142857 enz.
Dit is wel een heel bijzonder wiskundig geval.
Het is mij niet bekend of er meer van dergelijke sequenties zijn met 6 verschilllende cijfers of meer, die met een repetent enkelvoudig getal komen veel voor,
1:88 levert bijvoorbeeld 0.013636363636363636....
1:77 ziet er (voor zover ik kan zien) uit als 0.0 129870 129870 129870

Toegevoegd na 15 minuten:
Bij het laatste getal heb ik het vermoeden dat het zich ook repeteert als zes verschillende getallen.
Er zullen dus vanst meer zijn.
Helaas is bij Pi geen repeterende sequentie gevonden.
Helaas heb ik dat onderdeel van de wiskunde pakweg 40 jaar geleden gehad, kon het me nog wel herinneren terwijl de laatste reeks tussentijds niet meer aan de orde geweest is.
Omdat ik ooit een SR 51A had (heb ik nog steeds, werkend, rekent in 13 cijfers nauwkeurig) kon ik de mantisse tevoorschijn halen door het begin van het getal wat geen repeterend beeld gaf, er af te trekken.
Hij gaf dan 12 cijfers weer, de dertiende moest je door aftrek van de eerste voor de dag toveren.
Toen was de geavanceerde rekenmachine wat nu de smartphone is, de docent observeerde altijd als ik met het apparaat rekende , het was toe de top of the bill, de HP had het nadeel van RPM (reciproke poolse notatie) wat in wezen vaak handiger werkt dan AOS (algebraic hierargic operating system( Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord)
In die periode speelde ik vaak met die rekenmachine en heb zo wat wiskundige/rekenkundige patronen ontdekt.

Een klein stukje theorie.

Iedereen leert op school vast nog wel ouderwets staartdelen.
Stel dat je 1/7 uitrekent mbv een staartdeling. In iedere stap krijg je een restgetal waarmee je verder kunt delen door er een 'nul bij te halen'. Bij 7 zijn deze resten altijd 1,2,... 6 (zou je 0 krijgen, dan was je klaar met je staartdeling, zou je 7 krijgen dan had je de vorige stap niet goed gedaan :) ) .

Ook is het logisch, dat als je een rest krijgt die je al eerder hebt gehad, de staartdeling vanaf dat moment precies zo verder gaat als bij die eerdere keer. Zo kan je makkelijk zien, dat 1/7 nooit een repeterende reeks van meer dan 6 cijfers kan krijgen. Ook kan je op deze manier makkelijk zien, dat als je 2/7 uitrekent, of 3/7, je steeds met precies dezelfde repeterende reeks te maken krijgt; je begint alleen op een ander punt in de reeks.

Algemener kan je makkelijk zien dat als je 1/N uitrekent, je altijd een repeterende reeks van maximaal lengte N-1 krijgt.( Korter kan natuurlijk altijd, als je in een kleinere 'lus' terechtkomt (bv 1/6 = 0,1666666...), of als je op 0 uitkomt (1/2, 1/4, enz). )

De breuken met kortere repeterende reeksen laten we nu even buiten beschouwing. Waarom ? Omdat die niet opleveren wat we willen. Neem bv. 1/3= 0.33333, 2/3=0.66666.. of bijvoorbeeld 1/11=0.009090909..., 2/11= 0.1818181818... Hoe kan dit ? Simpel. Maak de staartdeling maar eens voor 1/3, dan zal je zien dat je nooit een rest 2 krijgt (maar altijd 1). Restwaarde 2 is ahw 'ongebruikt'. Maar die rest 2 krijg je natuurlijk wèl als je 2/3 uitrekent. Hetzelfde zie je als je 1/11 uitrekent: je krijgt altijd restwaarde 1 of je kan helemaal niet delen, de rest is 'ongebruikt'. Kortom, je moet precies die N hebben die een reeks van maximale lengte N-1 opleveren, omdat dan alle restwaarden wel 'gebruikt' worden, en de reeks niet anders kàn dan hetzelfde zijn als je 2/N, 3/N enz uitrekent -- alleen beginnend op een ander punt.

Zo kan je simpel zien dat èlke getallenrij, die 'afgeleid' wordt uit zo'n staartdeling 1/N, en die de maximale lengte bereikt van N-1 (dus bijvoorbeeld 1/7, of 1/17), of 1/19, hieraan in principe zal voldoen. Het enige 'jammere' is dat voor elke N > 10, je de '0' moet meenemen aan het begin van de reeks, die het inderdaad wat kunstmatig maakt....

Er zijn misschien nog wel heel andere getallenreeksen die de gevraagde eigenschap hebben, dat weet ik zo niet. Ik geef hier alleen een familie van reeksen aan die het in ieder geval heeft.