Waarom is iets tot de macht 0 altijd 1?

Dat is logisch als je terugredeneert:

26^4 gedeeld door 26 is 26^3
26^3 gedeeld door 26 is 26^2
26^2 gedeeld door 26 is 26^1 = 26
26^1 gedeeld door 26 is 26^0 = 1

Hetzelfde gaat op voor 34 en voor ieder ander grondtal.

Omdat:
1 = (a^b)/(a^b) = a^(b-b) = a^0

Je weet dat als je machten van hetzelfde grondtal op elkaar deelt, je de machten mag aftrekken. Dat klinkt moeilijk, maar ik geef een paar voorbeelden:

100.000 / 1.000 = 100
Schrijf je dat in machten van 10, dan krijg je:
10^5 / 10^3 = 10^2

1.024 / 16 = 64
Schrijf je dat in machten van 2, dan krijg je:
2^10 / 2^4 = 2^6

Je kunt nog eindeloos veel voorbeelden bedenken met allerlei verschillende grondtallen, maar je ziet telkens dat je de machten kunt aftrekken:

10^5 / 10^3 = 10^(5-3) = 10^2

2^10 / 2^4 = 2^(10-4) = 2^6

Kijk je naar dit sommetje (bijvoorbeeld):

100.000 / 100.000 = 1

Dan kun je dat dus omrekenen tot:

10^5 / 10^5 = 10^(5-5) = 10^0 = 1

Zo kun je dat met alle grondtallen en alle machten doen: twee gelijke getallen door elkaar gedeeld leveren ALTIJD 1 op, en als je ze in machten van hetzelfde grondtal definieert leveren ze ALTIJD [grondtal]^0 op.
Dus [grondtal]^0 is ALTIJD 1.

In de algebra heb je wiskundige structuren die "groepen" heten. In zo'n groep is het de conventie om voor de vermenigvuldiging a·a·...·a van b a'tjes de notatie a^b te gebruiken. Als je het hebt over a^0, dan bedoel je eigenlijk de vermenigvuldiging van nul a'tjes. Het klinkt niet logisch dat dit echt zou kunnen, maar wiskundig gezien krijg je toch zo af en toe te maken met een "vermenigvuldiging van nul a'tjes". Hiertoe hebben wiskundigen afgesproken dat a^0 altijd resulteert in het zogenaamde "eenheidselement" van de groep. Dit is een getal dat een ander getal onveranderd laat als je het ermee vermenigvuldigt.

De reële getallen (dat zijn alle getallen die er bestaan, zoals 0; 1; 27,5; pi; etc.) vormen ook zo'n groep. Ook hier geldt de regel dat a^0 moet resulteren in het eenheidselement. Voor de reële getallen is 1 dat eenheidselement. Als je een getal a met 1 vermenigvuldigt, laat je het getal a namelijk onveranderd: a·1=a.

Dit is een wat meer theoretische verklaring voor waarom a^0 gelijk is aan 1. Voor wat meer intuïtieve verklaringen moet je de andere antwoorden hebben :-)