Wat zijn significante cijfers?

Significante cijfers zijn belangrijke of betekenisvolle cijfers.
Als iets met 0,1% is gedaald, is dat niet zo significant.
Maar als iets met 10% is gedaald is het wél significant.

Het idee van significante cijfers is het uitdrukken van de nauwkeurigheid in een meting.
De nauwkeurigheid van een meting zie je aan het aantal significante cijfers. Het aantal significante cijfers van een meetwaarde is het aantal cijfers zonder op de komma te letten. Nullen aan het begin van machten van 10 tellen niet mee. De minst nauwkeurige meetwaarde bepaalt de nauwkeurigheid van de uitkomst.

Het meest significante cijfer is het "eerste" cijfer van een getal (het meest linkse cijfer dat geen nul is). Het minst significante cijfer is het "laatste" cijfer van het getal.

Soms wordt de term "significante cijfers" gebruikt als een soort vuistregel in een wetenschappelijk experiment, of in de statistiek waarin perfecte nauwkeurigheid onmogelijk of onnodig is. Door te kijken hoe de onzekerheden in het experiment doorwerken in het resultaat, wordt de onzekerheid in het resultaat (significantie) berekend.

Een getal (bijvoorbeeld 35) bestaat meestal uit meerdere cijfers (in dit voorbeeld: een 3 en een 5). Significante cijfers zijn die cijfers die echt iets betekenen.

Als voorbeeld neem ik de afstand tussen Amsterdam en Utrecht, hemelsbreed gerekend. Die afstand is 35 km (van centrum tot centrum).

In dit getal (35) hebben de 3 en de 5 allebei echt een betekenis. Je mag geen van beide veranderen, want als je dat doet maak je een fout. Het getal heeft dus 2 significante cijfers.

Je kunt ook zeggen: 35 km, dat is 35000 meter. Maar zo heel precies heb je de afstand van Amsterdam tot Utrecht niet bepaald. Misschien is het geen 35000 meter, maar 35178 meter. Of 34936 meter. Of ... nou ja, vul maar iets in.

Als je dus zegt dat de afstand van Amsterdam tot Utrecht 35000 meter is, dan heb je weliswaar 5 cijfers opgeschreven in plaats van 2 (3, 5, 0, 0 en 0 en plaats van 3 en 5), maar daarvan zijn er nog steeds slechts twee significant. De drie nullen staan er wel, maar ze zijn niet significant: ze betekenen niets.
 

Toegevoegd na 8 minuten:
 
In de natuurkunde worden die significante cijfers echt gebruikt. Als iemand bijvoorbeeld biologisch onderzoek doet en de dikte van een eierschaal opmeet, zou de uitkomst kunnen zijn: 0,35 mm dik. Dat betekent dat die eierschaal een dikte heeft tussen de 0,345 mm en de 0,355 mm.

Of, anders gezegd: de bioloog meet 0,352 mm, maar hij weet dat hij er best een beetje naast zou kunnen zitten, dus dat laatste cijfer zegt niets, ook al heeft hij het gemeten. Hij maakt er dan 0,35 mm van omdat slechts twee van de drie cijfers significant zijn. Die laatste 2 die hij heeft gemeten is niet significant, dus die moet hij weglaten uit zijn resultaat.

Als hij een nauwkeuriger meetapparaat heeft, zegt dat laatste cijfer wel iets. Dat laatste cijfer wordt dan ineens wél significant. Hij zal in zijn onderzoeksverslag dan 0,352 mm schrijven in plaats van 0,35 mm.

Volgens dezelfde redenatie is een meetresultaat van 0,35 mm iets anders dan een meetresultaat van 0,3500 mm. Het eerste resultaat heeft twee significante cijfers, en is dus minder precies dan het tweede resultaat, dat vier significante cijfers heeft.

In de wiskunde is 0,35 hetzelfde als 0,3500; in de natuurkunde niet.

In de wiskunde is 5 hetzelfde als 5,0; in de natuurkunde niet.
 

Significante cijfers zijn letterlijk de cijfers die belangrijk zijn.

Vooral als je metingen doet ben je aan het rekenen met onnauwkeurige waarden. Als je daarbij bijvoorbeeld een meetwaarde (3,45) maal de lichtsnelheid moet doen krijg je:
3,45 * 299792458 = 1034283980,1.
Aangezien de 3,45 een meetwaarde is, kun je nagaan dat deze niet helemaal nauwkeurig is. Daarom moet het antwoord in significante cijfers worden gegeven. 3,45 heeft 3 significante cijfers, de lichtsnelheid staat vast, dus deze is exact. Het eindantwoord moet dus worden gegeven in 3 significante cijfers, dus het antwoord is: 1,03*10^9.

Significante cijfers zijn er dus voor om een antwoord er niet nauwkeuriger uit te laten zien dan dat hij eigenlijk is.

Significante cijfers hebben vooral betekenis in de natuurkunde (meettechniek en de numerieke wiskunde). In essentie komt het er op neer dat je eerlijk over moet zijn over hoe precies je een hoeveelheid aan kunt geven.

Voorbeeld:

Ik vertrek thuis, rijd 180 km met de auto, ik parkeer en dan loop ik 20,5 meter terug naar mijn bestemming. Dan voel je misschien wel aan dat het onzin is als ik beweer dat mijn bestemming 179979,5 meter van mijn huis is.

Als ik 179979,5 meter opgeef voor de afstand (7 cijfers significant), dan moet ik het tot op de halve meter nauwkeurig weten anders mag ik het zo niet zeggen.

Als die 180 km op mijn dagteller tussen 179,5 en 180,5 km ligt (3 cijfers significant) dan doet die 20,5 m er niet toe: de bestemming is 180 km van mijn huis.