hoe werkt de 45 45 90 driehoek?

Dhr. Piet Agoras heeft daar eens een mooie formule voor gemaakt: c² = a² + b². Dat is een wiskundige stelling:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Pythagoras#Bewijs_met_opdelen_vierkant

Maar ook zonder wiskunde kan je dat begrijpen:

Toegevoegd na 55 seconden:
Waarbij a en b gelijkzijdig zijn (even groot)

Er is hier sprake van een rechthoekige driehoek (want een hoek van 90*). De stelling van Pythagoras gaat dan op:
A^2+B^2=C^2.

Hierbij zijn A en B de lengtes van de twee even lange (korte) zijden die van de hoeken van 45* naar de hoek van 90* lopen en is C de lange schuine zijde tussen de twee hoeken van 45*.

A en B zijn dus even lang. Laten we ze voor het gemak de lengte 1 geven. Dan wordt Pythagoras:
1^2+1^2=C^2.

Het kwadraat van 1 is 1. Dus er staat nu:
1+1=2=C^2.

Dan is dus C=wortel(2).

Dus de lengtes van de zijdes zijn: 1, 1, wortel(2).

Als je 1 zijde langer maakt, bijvoorbeeld 2x zo lang: A=2, dan is ook B=2 en dan wordt C=wortel(8)=wortel(2*4)=wortel(2)*wortel(4)=2*wortel(2).

Als je dat allemaal weer door 2 deelt, kom je terug op 1:1:wortel(2).

Door de eerste keer zijden van '1' (cm, m, km, dat maakt niet uit) te kiezen, heb je de eenvoudigste lengtes te pakken en kan je dus middels de stelling van Pythagoras de verhoudingen tussen de zijden uitrekenen. Dit gaat op voor alle 'gelijkvormige' driehoeken.

Dus als je een driehoek hebt met hoeken 30, 60, 90, ook dan zijn er vaste verhoudingen tussen de lengtes van de zijden en is dat uit te rekenen via Pythagoras. En ook voor driehoeken zonder rechte hoek erin hebben vaste verhoudingen bij vaste hoeken (20, 45, 115 bijvoorbeeld), alleen is dan de stelling van Pythagoras niet toe te passen.

De wortel is een wat exotische vinding, het is het omgekeerde van een kwadraat. Kwadraten waren al vroeg bekend als oppervlaktes van rechthoekige velden, muren of vloeren van gebouwen. Dat kwadraten een rol spelen bij de lengtes binnen een driehoek is niet logisch op het eerste gezicht.

Het lijkt me dus dat de stelling bij toeval is ontdekt bij het leggen van vierkante tegels en toen verder veralgemeniseerd voor alle rechthoekige patronen (rechthoekige driehoeken). In de bron staan wat plaatjes waaruit je kunt opmaken dat je uit sommige tegelpatronen het bewijs voor deze stelling kunt halen. De 1,1,wortel(2) driehoek is wel heel duidelijk in het eerste tegelpatroon van de bron te herkennen, door de driehoekjes op te tellen waaruit de gemarkeerde grote vierkanten bestaan is de stelling bij dit vierkantenpatroon makkelijk aan te tonen (16=8+8).


Het bijzondere van de griekse filosofen/wiskundigen was het bewijzen van de stelling en het opnemen van de stelling in een algemeen systeem van vlakke meetkunde. Voor die tijd was de stelling deel van een verzameling van timmermansweetjes die ook al aan Babyloniers, Egyptenaren en Chinezen bekend waren. Nadat de stelling was opgenomen in de vlakke meetkunde was het onderdeel van een compleet systeem van vlakke meetkunde waarmee allerlei zaken opgelost en berekend konden worden.