Waarom is min maal min plus?

Ik begrijp uit een eerdere reactie dat je graag een theoretisch antwoord wil. Er zijn verschillende manieren om het intuïtief 'aannemelijk te maken', daarmee bedoel ik: er zijn redenen die motiveren waarom 'min maal min is plus' een goede keuze is. Ik noem het een keuze, want men had inderdaad ook een andere keuze kunnen maken! Via bijgevoegde link vind je zo een aantal 'motivaties' op basis van praktische overwegingen.

Maar los daarvan, kan je het ook zuiver wiskundig bekijken. In de wiskunde hebben we graag dat wiskundige objecten 'mooie eigenschappen' hebben. Voor getallen (zoals natuurlijke getallen, gehele getallen, rationale getallen, reële getallen) kan je denken aan eigenschappen zoals commutativiteit van de optelling: a + b = b + a. en van vermenigvuldiging: a*b = b*a. Een andere belangrijke eigenschap is het feit dat de vermenigvuldiging distributief is ten opzichte van de optelling ('haakjes uitwerken' of 'verdrijven'):

a*(b+c) = a*b + a*c

Deze eigenschap werkt voor alle reële getallen. Als de vraag van wat 'min maal min' precies is, nog niet beantwoord is, dan werkt de eigenschap in elk geval voor positieve getallen. Als je wil dat de eigenschap geldig blijft voor negatieve getallen, dan zal 'min maal min' gelijk aan 'plus' gekozen moeten worden.

Bekijk het eenvoudige product (-1)*(-1). Een product van andere negatieve getallen kan je altijd tot dit probleem herleiden door de negatieve getallen te schrijven als (-1)*x met x een positief getal. Twee mogelijke 'logische keuzes' zouden 1 en -1 zijn voor dit product, maar bij de keuze van -1 ('min maal min is min') verlies je de eerder genoemde eigenschap van distributiviteit.

Met die eigenschap wil je namelijk dat dit geldt:

(-1)*(1 + (-1)) = -1*1 + (-1)*(-1)

Het linkerlid is duidelijk 0 want 1 + (-1) = 0 en (-1)*0 = 0. Maar het rechterlid zou dan -2 worden want -1*1 = -1 en de keuze (-1)*(-1) = -1 veroorzaakt dus het 'falen' van deze eigenschap. De keuze (-1)*(-1) = 1 behoudt de eigenschap en dat is wat wiskundigen 'willen'.

Dit klinkt misschien allemaal wat 'zwaar' voor zoiets eenvoudig, maar het is wel wat er in de praktijk veel gebeurt: definities/keuzes worden vaak gemaakt op zo een manier dat wiskundige eigenschappen behouden blijven. Andere voorbeelden van 'keuzes' bij afspraken/definities die te motiveren zijn om bepaalde eigenschappen te behouden, zijn a^0 = 1 bij machten, 0! = 1 voor de faculteit (zie antwoord op een andere vraag)...