Hoe ziet de grafiek van de discriminant en de parameter eruit? Met wiskunde?

Jouw redenering is volledig juist! Extremen vind je door de nulpunten van de afgeleide te vinden en de vraag of die bestaan kun je beantwoorden door de discriminant te berekenen. Die discriminant is nu een uitdrukking in p en wat we willen weten is bij welke p die positief, 0 of negatief is. De afgeleide is 9x²+2px+7. De discriminant daarvan is volgens mij b²-4ac = (2p)²-4.9.7 = 4p²-252. Een grafiek van p en D is dus gewoon een grafiek van D = 4p²-252.
Dus D=0 voor p = ±√63. Tussen die twee waarden voor p is de discriminant negatief, en heeft de afgeleide dus geen nulpunten, en heeft de oorspronkelijke functie geen extreme waarden. Voor p<-√63 en voor p>√63 heeft de afgeleide twee nulpunten en de functie dus twee extreme waarden.
Maar let op! Voor p = ±√63 heeft de afgeleide één nulpunt. De afgeleide wordt nergens negatief. De functie zal dus nergens dalen. We hebben dan te maken met een buigpunt en daar bereikt de functie goed beschouwd geen extreme waarde. Het juiste antwoord op de vraag voor welke p de functie geen extremen heeft is dus -√63 <= p <= √63.