hoe wordt in de praktijk het differentieren en integreren toegepast in bijvoorbeeld de techniek
Heb ooit leren differentieren en integreren. Maar wat kan je er mee in de praktijk.
10.3K
10.3K keer bekeken
Geef jouw antwoord
Het beste antwoord
Leuke vraag! Vaak hoor je dat mensen inderdaad geen idee hebben wat ze nu hebben geleerd, vanuit een praktisch oogpunt. Vroeger lag daar (op de middelbare school vooral) ook helemaal geen nadruk op. Tegenwoordig mis ik de echte toepassingen ook...
Differentieren heeft misschien de meeste toepassingen. Veel processen beschrijven verandering. Stel dat je weet hoeveel iets beweegt als een functie van tijd, dan kan je de snelheid vinden door te differentieren.
Maar ook natuurlijk alle optimalisatieproblemen. Een bekend voorbeeld.
Omzet = p*q (prijs * hoeveelheid)
Winst = Omzet - cq (omzet - marginale kosten * hoeveelheid)
Als je bijvoorbeeld weet, dat men minder marginale kosten heeft per product als men meer maakt (door het goedkoper kunnen importeren van grondstoffen), krijg je dat je een beste waarde kunt vinden voor hoeveelheid of prijs. Vrij praktisch voor een bedrijf?
Dat was een klein stukje economie. In de economie komen trouwens nog veel meer van dit soort problemen voor.
In elektrische circuits bijvoorbeeld ook. Maar dat was al aan de orde gesteld.
Integratie kan je weer toepassen om bepaalde opsommingen te kunnen uitrekenen. Stel dat je dus weet
W(t) = 3t + 7 , dan kan je de totale winst na zoveel t uitrekenen door te integreren.
W_tot (t) = 3/2 t^2 + 7t , trouwens.
Nu zijn er ook nog de differentiaalvergelijkingen. Deze bevatten een functie en haar afgeleide als een vergelijking. Heel veel processen die bijv. met golfbewegingen te maken hebben volgen dit type vergelijkingen. Om deze op te stellen zijn differentialen nodig, om ze op te kunnen lossen het principe van het integreren. (Ik moet erbij zeggen, dat we ze vaak niet exact kunnen oplossen).
Hopelijk een klein beetje inzicht in de praktijk? Ik kijk nog wel of me meer te binnen schiet :)
Toegevoegd na 1 minuut:
Trouwens, alle kansverdelingen berusten op de integraalrekening om ze te verifieren.
Omdat integraal van -\infty tot \infty van e^ (-x^2) gelijk is aan wortel(pi). (ik neem aan dat je het bewijs hier niet wilt hebben ;p)
Je herinnert je mss dat de normaalverdeling zichzelf deelt door wortel(pi*sigma) (geloof ik), dit is omdat de totale kans van -oneindig tot oneindig dan 1 is, opgeteld. Komt door de integraalrekening. Hiermee kunnen we cummalitieve kansen berekenen!
Toegevoegd na 4 minuten:
Ik ga even verder in de reacties, want GoeieVraag telt het als teveel woorden... En er zijn nog wel zoveel meer toepassingen ;p
Differentieren heeft misschien de meeste toepassingen. Veel processen beschrijven verandering. Stel dat je weet hoeveel iets beweegt als een functie van tijd, dan kan je de snelheid vinden door te differentieren.
Maar ook natuurlijk alle optimalisatieproblemen. Een bekend voorbeeld.
Omzet = p*q (prijs * hoeveelheid)
Winst = Omzet - cq (omzet - marginale kosten * hoeveelheid)
Als je bijvoorbeeld weet, dat men minder marginale kosten heeft per product als men meer maakt (door het goedkoper kunnen importeren van grondstoffen), krijg je dat je een beste waarde kunt vinden voor hoeveelheid of prijs. Vrij praktisch voor een bedrijf?
Dat was een klein stukje economie. In de economie komen trouwens nog veel meer van dit soort problemen voor.
In elektrische circuits bijvoorbeeld ook. Maar dat was al aan de orde gesteld.
Integratie kan je weer toepassen om bepaalde opsommingen te kunnen uitrekenen. Stel dat je dus weet
W(t) = 3t + 7 , dan kan je de totale winst na zoveel t uitrekenen door te integreren.
W_tot (t) = 3/2 t^2 + 7t , trouwens.
Nu zijn er ook nog de differentiaalvergelijkingen. Deze bevatten een functie en haar afgeleide als een vergelijking. Heel veel processen die bijv. met golfbewegingen te maken hebben volgen dit type vergelijkingen. Om deze op te stellen zijn differentialen nodig, om ze op te kunnen lossen het principe van het integreren. (Ik moet erbij zeggen, dat we ze vaak niet exact kunnen oplossen).
Hopelijk een klein beetje inzicht in de praktijk? Ik kijk nog wel of me meer te binnen schiet :)
Toegevoegd na 1 minuut:
Trouwens, alle kansverdelingen berusten op de integraalrekening om ze te verifieren.
Omdat integraal van -\infty tot \infty van e^ (-x^2) gelijk is aan wortel(pi). (ik neem aan dat je het bewijs hier niet wilt hebben ;p)
Je herinnert je mss dat de normaalverdeling zichzelf deelt door wortel(pi*sigma) (geloof ik), dit is omdat de totale kans van -oneindig tot oneindig dan 1 is, opgeteld. Komt door de integraalrekening. Hiermee kunnen we cummalitieve kansen berekenen!
Toegevoegd na 4 minuten:
Ik ga even verder in de reacties, want GoeieVraag telt het als teveel woorden... En er zijn nog wel zoveel meer toepassingen ;p
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Andere antwoorden (3)
Differentiëren en integreren wordt gebruikt in rekenende systemen. Kort door de bocht: differentiëren is het berekenen van de steilheid/verandering in een periode. Integreren is het bepalen van totalen, bijvoorbeeld de oppervlakte onder een grafiek in een bepaalde periode. Maar wanneer ben je dit nodig in de techniek?
Intelligente en multifunctionele meters/oscilloscopen zijn integreren en differentiëren nodig voor het berekenen en dus kunnen weergeven van bijvoorbeeld spanningen, stromen, vermogens, krachten, etc.
Ook in regelsystemen zijn integreren en differentiëren essentieel. Bijvoorbeeld de PID regelaar, waar "I" voor Integral gain staat en "D" voor Differential gain.
Misschien wel interessant. In de bron zijn simpele schakelingen te zien die een integrerende en differentiërende werking hebben.
Intelligente en multifunctionele meters/oscilloscopen zijn integreren en differentiëren nodig voor het berekenen en dus kunnen weergeven van bijvoorbeeld spanningen, stromen, vermogens, krachten, etc.
Ook in regelsystemen zijn integreren en differentiëren essentieel. Bijvoorbeeld de PID regelaar, waar "I" voor Integral gain staat en "D" voor Differential gain.
Misschien wel interessant. In de bron zijn simpele schakelingen te zien die een integrerende en differentiërende werking hebben.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Heel veel. Te veel om op te noemen.
-differentieren voor het bepalen van snelheid of versnelling
-integreren voor het bepalen van een oppervlak of inhoud
-differentiaalvergelijkingen oplossen om het gedrag van dynamische systemen te bepalen
-differentieren voor het bepalen van minima en/of maxima(optimalisatie).
-integreren voor fouriertransformatie (het bepalen van het spectrum van een signaal)
-differentieren en integreren in pid-regelaars
-differentieren voor extrapolatie en interpolatie
-reeksontwikkeling van een functie
Naast continue differentiatie en integratie bestaat er ook discrete differentiatie en integratie. Deze zijn erg gemakkelijk op computers te gebruiken.
-differentieren voor het bepalen van snelheid of versnelling
-integreren voor het bepalen van een oppervlak of inhoud
-differentiaalvergelijkingen oplossen om het gedrag van dynamische systemen te bepalen
-differentieren voor het bepalen van minima en/of maxima(optimalisatie).
-integreren voor fouriertransformatie (het bepalen van het spectrum van een signaal)
-differentieren en integreren in pid-regelaars
-differentieren voor extrapolatie en interpolatie
-reeksontwikkeling van een functie
Naast continue differentiatie en integratie bestaat er ook discrete differentiatie en integratie. Deze zijn erg gemakkelijk op computers te gebruiken.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Het staat hierboven al beschreven maar toch nog een keer, met een praktisch voorbeeld en wellicht wat simpeler.
neem bv een auto die voor een stoplicht wacht en zodra t groen is optrekt.
Die auto gaat dan rijden, steeds harder en harder laten we zeggen dat ie dat 10 seconden doet.
Maar hoe hard reed ie nou na 5 sec?
De snelheid is de afgelegde weg tussen 2 tijdstippen.
Bij de auto in t voorbeeld, kan je zeggen ik neem de tijd tussen de 5 en 6 seconden maar dat klopt niet want op t=6 sec rijdt de auto sneller dan op t=5sec.
Als je het zo zou doen krijg je de gemiddelde snelheid tussen t=5 en t=6 sec maar die is hoger dan de snelheid op t=5 sec. (immers, de auto versnelt op dat moment nog steeds)
Dan kan je dat tijdsverschil kleiner nemen bv t=5 en t=5,1 sec. Dan kom je al beter in de richting maar nog steeds geldt hetzelfde als bij t=5 en t=6sec, het klopt nog steeds niet helemaal.
Hoe het wel klopt is dat je de tijd oneindig klein neemt. dus wat is de afgelegde afstand tussen t=5 sec en t=5sec+oneindig klein.
Dan krijg je een raaklijn in het punt t=5sec. Die raaklijn is dan eigenlijk een lijn alsof de auto niet versnelt of vertraagt op die t=5sec maar, een continue snelheid heeft.
en wat is nou de formule van die raaklijn?
Die vind je door de snelheidsformule van de versnellende auto te differentieren.
Kortom: door te differentieren krijg je de formule voor een raaklijn in een (parabolische) versnellingsfuntie en met die formule kan je de snelheid van een voorwerp op een gegeven moment uitrekenen.
neem bv een auto die voor een stoplicht wacht en zodra t groen is optrekt.
Die auto gaat dan rijden, steeds harder en harder laten we zeggen dat ie dat 10 seconden doet.
Maar hoe hard reed ie nou na 5 sec?
De snelheid is de afgelegde weg tussen 2 tijdstippen.
Bij de auto in t voorbeeld, kan je zeggen ik neem de tijd tussen de 5 en 6 seconden maar dat klopt niet want op t=6 sec rijdt de auto sneller dan op t=5sec.
Als je het zo zou doen krijg je de gemiddelde snelheid tussen t=5 en t=6 sec maar die is hoger dan de snelheid op t=5 sec. (immers, de auto versnelt op dat moment nog steeds)
Dan kan je dat tijdsverschil kleiner nemen bv t=5 en t=5,1 sec. Dan kom je al beter in de richting maar nog steeds geldt hetzelfde als bij t=5 en t=6sec, het klopt nog steeds niet helemaal.
Hoe het wel klopt is dat je de tijd oneindig klein neemt. dus wat is de afgelegde afstand tussen t=5 sec en t=5sec+oneindig klein.
Dan krijg je een raaklijn in het punt t=5sec. Die raaklijn is dan eigenlijk een lijn alsof de auto niet versnelt of vertraagt op die t=5sec maar, een continue snelheid heeft.
en wat is nou de formule van die raaklijn?
Die vind je door de snelheidsformule van de versnellende auto te differentieren.
Kortom: door te differentieren krijg je de formule voor een raaklijn in een (parabolische) versnellingsfuntie en met die formule kan je de snelheid van een voorwerp op een gegeven moment uitrekenen.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Deel jouw antwoord