Zijn er nog meer rijen zoals de rij van Fibonacci en de rij van Lucas?

Blijkbaar zijn er wel een paar. Als je in bijgevoegde link kijk onder categorie "rij" dan vind je er een paar.

Je hebt ook nog de reeksontwikkelingen in de wiskunde, beroemdste voorbeeld is de Taylorreeks, waarmee je een functie benadert als een machtenreeks. Als je er eentje ziet, zul je hem niet zo makkelijk herkennen!

Naast de rij van Fibonacci en die van Lucas is er ook nog de rij van Padovan ( http://nl.wikipedia.org/wiki/Rij_van_Padovan ). Meer algemeen vallen dergelijke rijen onder de noemer "recurrente betrekkingen" ( http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation ).
Een rij op een verzameling X is niets anders dan een functie r:N->X met N de natuurlijke getallen. Ofwel, r voegt aan ieder natuurlijk getal n, een element r_n in X toe. We noemen r een recurrente rij (of betrekking) als voor alle natuurlijke getallen n geldt dat r_{n+1} een functie is van de r_i met 0 <= i <= n en r_0 gegeven is.
Een interessante vraag die men zich kan stellen is of r ook een directe formule heeft. Ofwel, kunnen we r_n gesloten uitdrukken als functie van n?
Wanneer we onze elemenataire getalsoperaties tot onze beschikking hebben (zoals voor X = R, de reële getallen) kunnen we meer doen met dit vraagstuk.
Stel r_{n+1} = 2*r_n + 1 met r_0 = 1 is onze recurrente betrekking. We zien nu dat r_1 = 3, r_2 = 7, x_3 = 15. Dit leidt ons tot het vermoeden dat r_n = 2^{n+1}-1. Om dit te bewijzen gebruiken we inductie.
We zien dat r_0 = 1 = 2^{0+1} - 1, dus het klopt voor n=0. Stel, het klopt voor n (r_n = 2^{n+1}-1), dan r_{n+1} = 2*r_n + 1 = 2*(2^{n+1}-1) + 1 = 2^{n+2} - 2 + 1 = 2^{n+2} - 1. Dus het klopt voor n+1. Met volldige inductie over N, zien we dat de directe formule correct is.
Dat het niet altijd zo eenvoudig is, laat de rij van Fibonacci zien. Het is erg lastig om de directe formule te raden, maar met matrices of genererende functies kom je al veel verder. Voor een goed boek over deze technieken kan je adviseren "Concrete Mathematics" van Graham, Knuth en Patashnik te lezen.
Tot slot is het nog interessant om op te merken dat er rijen bestaan waarvan het bewezen is, dat je niet kunt vaststellen of er een directe formule voor bestaat. Wees gerust, dergelijke exoten zul je in het dagelijks leven niet veel tegenkomen.