Wanneer is je functie differentieerbaar?

Een functie f:R^m->R^n heet differentieerbaar in een punt x als er een lineaire J_x:R^m->R^n bestaat, zodat [limiet van h->0] (f(x+h)-f(x)-J_x(h))/||h|| = 0.
f heeft nu differentieerbaar als deze differentieerbaar is in ieder punt van het domein. Het bestaan van deze limiet in een punt x omvat het bestaan van alle partiële afgeleiden in x en hun gelijkheid, maar ook de continuïteit van f. Immers, de Jacobi matrix is de matrix van alle partiële afgeleiden van f.
Merk op dat een functie als f:R^2->R met f(x,y) = y^3/(x^2+y^2) en f(0,0)=0, partiële afgeleiden heeft die overal bestaan en dat f zelf ook continu is, maar dat deze nog steeds niet differentieerbaar is in (0,0).
Indien we J uitdrukken ten opzichte van de canonieke bases van R^m en R^n, zien we dat J_x = grad_x.
Deze technische definitie van differentieerbaarheid komt uiteindelijk neer op de garantie dat f in ieder punt "benaderbaar" moet zijn door een lineaire afbeelding. Het is hiermee dus het hoger dimensionale analogon van de volgende uitspraak:
g:R->R is differentieerbaar in x dan en slechts dan als de raaklijn aan g in x bestaat.
In de tweede voorwaarde stel je iets veel sterkers. Je stelt dat voor alle a, f(x)-f(a)=J(x-a)+lambda(x)*||x-a|| met lambda = 0. Dus voor alle a, f(a) = f(x)-J(x-a), zodat f zelf een lineaire afbeelding is! Deze is trivialiter C^(oneindig).
Wat je waarschijnlijk bedoeld is dat er voor elke x een lambda_a(x) bestaat, zodat voor alle a, f(x)-f(a)=J(x-a)+lambda_a(x)*||x-a||. Dit is trivialiter waar, aangezien je eenvoudigweg kunt kiezen voor
lambda_a(x) = (f(x)-f(a)-J(x-a))/||x-a||. We zien nu dat [limiet a->x] lambda_a(x) = 0 equivalent is met [limiet a->x] (f(x)-f(a)-J(x-a))/||x-a|| = 0. Dit is exact de definitie van differentieerbaarheid.
Dus, mits goed geformuleerd, is je tweede voorwaarde ook voldoende.
In het algemeen ligt de vraag van differentieerbaarheid van functies een stuk genuanceerder dan hier geschetst. Dit verhaal is alleen van toepassing op functies tussen lineaire vectorruimten. Voor meer informatie over dit onderwerp verwijs ik je graag door naar onderstaande wiki.