Hoe bepaal je de dimensie van een vectorruimte?

Omdat je drie termen hebt en dus 3 dimensies, namelijk:

x²,x,1 Dit is de basis van W.

a,b,c,d zijn slechts getallen waarmee je deze termen mee vermenigvuldigd.


Je kunt bijvoorbeeld ook als basis hebben:

x,y,z Dan heb je de 'normale' 3D ruimte.

a,b,c,d geven dan je positie in deze ruimte, zo ook in de ruimte W, alleen is dit wat lastiger voor te stellen.

In het algemeen is de dimensie van een vectorruimte gelijk aan de kardinaliteit van zijn bases. Indien er geen canonieke basis voorhanden is gebruik je de orthogonalisatie methode van Gram-Schmidt.
In het specifieke geval dat je hier noemt is echter een canonieke basis beschikbaar. Zij R een ring, dan vormen we de polynomiale ring R[X] als de verzamelingen van polynomen in X met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging van polynomen.
Zoals je ziet zal voor twee polynomen van graad m en n het productpolynoom graad m+n hebben. In het algemeen geldt dat R[x] een algebra is als R commutatief is. Indien we ons beperken tot polynomen van graad 2, als in het voorbeeld, dan kunnen we deze vectorruimte opvatten als de additieve component van quotient ring Q = R[x]/(p^3), waarbij p(X) = X.
Op deze wijze hebben we een canonieke basis q_i(X) = X^i met i=0,1,2. Algemener geldt dat dat dim (R[x] / p^(N+1)) = N+1 met als basis q_i, i=0,...,N. Interessanter echter, is de situatie waarin R een lichaam is. Het is niet moeilijk in te zien dat indien een polynoom p, geen verdere ontbinding in R toestaat, dat dan R[x]/p weer een lichaam is.
Voor meer informatie over dit onderwerp raad ik je aan eens te kijken op onderstaande website.
Laten we terugkeren naar het concrete voorbeeld. Wanneer we zeggen dat W de vectorruimte is, gerepresenteerd door p(x) = (2*a+b-d)*x²+(3*a+2*b-c)*x+(-a-b+c-d) dan bedoel je waarschijnlijk te zeggen dat W = { [(2*a+b-d)*x²+(3*a+2*b-c)*x+(-a-b+c-d)] | a,b,c,d in R } met R een ring. W ligt op natuurlijke wijze ingebed in V = { Ax²+Bx+C | A,B,C in R }.
Daar A, B en C de vrijheidsgraden zijn kunnen we over a,b,c en d nadenken als parameters van een deelruimte. Het is niet triviaal dat W 3-dimensionaal is. Om dit aan te tonen is het voldoende om te laten zien dat A, B en C gelijktijdig alle waarden van R aan kunnen nemen. Stel dat g(1) t/m g(n) alle generatoren van R zijn, dan moet je dus laten zien dat de stelsels
A=g(i),B=g(j),C=g(k) oplossingen in a,b,c,d hebben voor alle combinatie van i, j en k verschillend.
In het geval dat R een lichaam is hebben we één generator (1) en wordt het probleem gereduceerd tot het aantonen dat de drie stelsels (2a+b-d , 3a+2b-c , -a-b+c-d) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) oplossingen hebben.