De reductie van een kegelsnede is uniek op een omwisseling van de coordinaatassen na. Gaat dit ook op voor de kwadrieken?

Ja dit mag, maar hangt in zijn algemeenheid af van de projectieve ruimte P waarin de kwadriek wordt ingebed als algebraïsche variëteit.
Zij V een vectorruimte over een lichaam F. Laat nu P de projectieve ruimte over V zijn (2D).
K = -10*Y²+1+6*X² en K' = -10*X²+1+6*Y² zijn equivalent precies als de projectieve transformatie die ze in elkaar overvoert (spiegeling in X=Y) niet singulier is.
De singulariteit dient hier in de karakteristiek van F onderzocht te worden.
De transformatiematrix (ten opzichte van X, Y) laat zich in het simpelste geval beschrijven door
| 0 1 |
| 1 0 |
De determinant van deze matrix is -1. Merk op dat in ELK lichaam -1 ongelijk is aan 0. Immers, -1 is de additieve inverse van 1 en in een lichaam geldt per definitie '1 ongelijk 0'.
Kortom, de transformatie is altijd regulier en een "wisseling van as" is dus geoorloofd.