Hoe kun je de functie van een parabool afleiden uit een grafiek?

Question

Lees de 3 antwoorden op deze vraag en bekijk vele andere vragen over wiskunde op Goeievraag.

 · Accepted Answer

je begint met y=ax^2+bx+c

c kan je meteen aflezen door te kijken waar de grafiek door de y-as gaat.
Daarna moet je nog 2 andere punten die op roosterpunten pakken en invullen.

voorbeeld:
Stel de grafiek gaat door de punten (0,5) (1,4) en (2,7)

c is dan 5, want de grafiek gaat door het punt (0,5)
we hebben nu: y=ax^2+bx+5

de andere 2 punten gaan we invullen:
(1,4) =>   4=a*1^2+b*1+5=a+b+5        =>  a+b=-1
(2,7) =>   7=a*2^2+b*2+5=4a+2b+5    =>  4a+2b=2

dit stelsel van vergelijkingen moet je oplossen. Dat kan op verschillende manieren:

1.  je kan de eerste vergelijking omschrijven naar a=-1-b en dat invullen in de 2e vergelijking: 4(4-b)+2b=2 hiermee kan je b vinden en vervolgens a

2.  Als je de eerste vergelijking verdubbelt krijg je 2a+2b=8 dit haal je van de 2e vergelijking af en je krijgt 2a=4, en dan vindt je dat a=2. b kan je dan heel makkelijk want a+b=-1 wordt dan 2+b=-1 en dan weet je b=-3

Nu hoef je alleen maar a,b en c in te vullen en je krijgt:
y=2x^2-3x+5

Dit kan je controleren door de 3 gebruikte punten in te vullen en je zult zien dat het klopt. Als de gevonden formule klopt voor 3 punten op de grafiek, weet je zeker dat je het goed gedaan hebt, want door 3 willekeurige punten is maar op 1 manier een parabool te tekenen

 · Answer

Een parabool P is per definitie de conflictlijn van een lijn L (directrix) en een punt b (brandpunt). Dat wil zeggen, P is de verzameling van punten met gelijke afstand tot een gegeven lijn L en een gegeven punt b.
Wanneer je L, danwel b gegeven hebt is het eenvoudig de ander hieruit te constructeren. Immers, L loopt parallel aan de raaklijn aan het extremum e van de parabool en heeft afstand gelijk aan d, de afstand tussen e en b.
Omgekeerd, gegeven twee punten x, y op de parabool, construeer cirkels met middelpunten x en y, die raken aan L. Hun snijpunten zijn altijd b en e.
De raaklijn X aan P in e, en de loodlijn Y op X door p, vormen een assenstelsel (X,Y) ten opzichte waarvan je de parabool op kunt vatten als de grafiek (Y=f(X)) van de functie f(X) = X^2/(4d).

 · Answer

Dat kan bijvoorbeeld door het invullen van 3 punten die op de lijn van de parabool liggen. Dan krijg je 3 vergelijkingen met 3 onbekenden, en die kan je oplossen.

Voorbeeld:

Stel de parabool y=a*x^2+b*x+c gaat door (0,3), (3,0) en (6,3)

(0,3) invullen 3 = 3=a*0^2+b*0+c 
==> c=3

(3,0) invullen 0=a*3^2+b*3+3 
==> 9*a+3*b+3=0

(6,3) invullen 3=a*6^2+b*6+3 
==> 36*3a+6*b=0

De 3e vergelijking kan je omschrijven naar a = -6*b/36
Als je dat in de 2e vergelijking invult krijg je
9*(-6*b/36) +3*b +3 =0 ==> –1,5*b=3  ==> b =-2

Uit de 3e vergelijking volgt dan a = 1/3

Dus y = (1/3)x^2-2x+3

Het kan zijn dat je vergelijking iets lastiger is als dit voorbeeld, maar het idee zal duidelijk zijn.

Hoe kun je de functie van een parabool afleiden uit een grafiek?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (2)

Bekijk alle vragen in deze categorieën: